Двойной интегратор: максимально быстрое согласование скорости и положения с ограниченным количеством доступной силы

Давайте переформулируем вопрос (v1) как одномерную кинематическую задачу оптимального управления мышью и кошкой . Массы не имеют отношения к кинематической задаче и, следовательно,

$$m~=~1.$$

1) Рассмотрим сначала кота. Задача кота — как можно быстрее определить положение и скорость (!) мыши. Кот может ускориться

$$|a|~\leq~ a_{0},$$

где$a_{0}>0$это максимальное ускорение. (Обновление: задача такого типа в теории оптимального управления известна как двойной интегратор . См. также учебник HP Geering, Optimal Control with Engineering Applications, Springer, 2007, Section 2.1.4.) Мы хотим показать, что в идеале , существует оптимальная стратегия, при которой ускорение кота всегда либо максимально допустимое, либо его нет,

$$a(t)~\in~\left\{ -a_0,0 , a_0 \right\},$$

т. е. управляющий параметр$a$обладает свойством взрыва .

Определим кинетическую энергию со знаком

$$K~:=~\frac{mv|v|}{2}~=~\frac{v|v|}{2}~=~T ~{\rm sgn}(v), \qquad \qquad T~:=~\frac{mv^2}{2}~=~\frac{v^2}{2}~=~|K| .$$

Удобно рассматривать а$(x,K)$система координат. Его можно рассматривать как конфигурационное пространство (или фазовое пространство) системы, поскольку карта$v \leftrightarrow K$является биекцией:$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. В частности, можно построить траектории кошки и мыши в виде графика.$(x,K)$диаграмма. Из теоремы о работе энергии наклон траектории равен (с точностью до знака) ускорению

$$a~=~ma~=~\frac{dT}{dx}~=~ \frac{dK}{dx} {\rm sgn}(v) .$$

Таким образом, кошка в исходном состоянии$(x_0,K_0)$должен двигаться внутри конуса$C(x_0,K_0)$как показано красным на рисунках 1, 2 и 3. Кошка может выйти из конуса$C(x_0,K_0)$сквозь$x$-ось$K=0$только, и повернуться, чтобы достичь конечного состояния$(x,K)$вне конуса.

$\uparrow$Рис. 1. Случай$K_0>0$. Красная область обозначает конус$C(x_0,K_0)$. Пути, ориентированные черным цветом, указывают оптимальные стратегии для достижения кошкой трех различных конечных состояний.$(x,K)$.

$\uparrow$Рисунок 2. Конус$C(x_0,K_0)$отмечено красным на корпусе$K_0=0$.

$\uparrow$Рисунок 3. Конус$C(x_0,K_0)$отмечено красным на корпусе$K_0<0$.

В математических деталях конус$C(x_0,K_0)$является

$$C(x_0,K_0)~:=~\left\{ \begin{array}{lcc} C_{+}(x_0,K_0)&{\rm for}& K_0>0, \cr\cr C_{+}(x_0,K_0)\cup C_{-}(x_0,K_0)&{\rm for}& K_0=0,\cr\cr C_{-}(x_0,K_0)&{\rm for}& K_0<0, \end{array} \right.$$

где мы определили положительные и отрицательные конусы как

$$C_{\pm}(x_0,K_0)~:=~ \left\{(x,K)\in\mathbb{R}^2 \mid \pm a_0 (x-x_0) \geq |K-K_0| \wedge \pm K\geq 0\right\} .$$

Чтобы кошка вышла из состояния$(x_0,K_0)$констатировать$(x,K)$, существует оптимальная стратегия, которая приводит к минимальным затратам времени$\tau(x,K;x_0,K_0)$, что мы и попытались обозначить на рисунке 1. Грубо говоря, кошка должна выбрать маршрут как можно$x$-ось$K=0$насколько это возможно, так как наиболее затратно по времени иметь малую скорость. Если конечное состояние$(x,K) \in C(x_0,K_0)$находится в конусе, то необходимы два участка (один с максимальным ускорением и один с максимальным торможением). Несложно подсчитать, что минимальное время$\tau(x,K;x_0,K_0)$для$(x,K) \in C(x_0,K_0)$является

$$\tau(x,K;x_0,K_0) ~=~ \frac{2\sqrt{|K|+|K_0|+a_0|x-x_0|} -\sqrt{2|K|}-\sqrt{2|K_0|}}{a_0} .$$

Есть аналогичные выражения для$\tau(x,K;x_0,K_0)$в различных случаях, когда$(x,K) \notin C(x_0,K_0)$но с большим количеством ножек/терминов, которые мы оставим в качестве упражнения для определения.

2) Далее рассмотрим мышь. Предположим, что полная будущая траектория мыши$t\mapsto x_1(t)$,$t\geq 0$, известно всезнающему коту. (Есть и другие возможные правила игры, но эта установка кажется наиболее близкой к тому, что нужно OP.) Пусть скорость и кинетическая энергия мыши со знаком обозначены

$$v_1(t)~=~\frac{dx_1}{dt} \qquad {\rm and}\qquad K_1(t)~=~\frac{v_1(t)|v_1(t)|}{2},$$

соответственно. Для каждого будущего времени$t\geq 0$, определите разницу

$$\Delta\tau(t)~:=~ \tau\left(x_1(t),K_1(t);x_0,K_0\right) - t$$

между моментами, когда кошка могла быть в состоянии мыши$(x_1(t),K_1(t))$(если кошка убежала), а время$t$мышь была бы там. Если два начальных состояния кошки и мыши различны,

$$(x_0,K_0)~\neq~(x_1(t=0),K_1(t=0)),$$

затем$\Delta\tau(t=0)>0$. Первое мгновение$t_*$что кошка может получить$(x,K)$состояние мыши - это первый раз, когда$\Delta\tau(t)$становится неположительным,

$$t_*~=~\inf \left\{ t\in \mathbb{R}_+ \mid \Delta\tau(t) \leq 0 \right\}.$$

Это ответ на то, как быстро кошка может определить положение и скорость мыши.

На самом деле вы можете найти здесь две физические аналогии, которые могут объяснить мой ответ.

1. В пружине возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия. С некоторым демпфированием по пути он в конечном итоге займет исходное положение.

2. В динамике частиц (рассмотрим сопротивление Стокса) сила сопротивления частицы в вязкой жидкости пропорциональна разнице скоростей между частицей и жидкостью. В конце концов, частица приспособится к скорости жидкости.

Если объединить обе идеи, то сила

$\hat{f}(t)=f(t)+\alpha\Big(\hat{x}(t)-x(t)\Big)+\beta\Big(\hat{v}(t)-v(t)\Big)$

в принципе должен делать то, что вы хотите (конечно, вы всегда можете добавить свое ограничение в качестве ограничителя). На самом деле член разности скоростей будет действовать как демпфирующий член для члена разности положений.

Ваш вопрос также включает в себя как можно быстрее . Это можно сделать, грамотно подобрав коэффициенты$\alpha$и$\beta$. Они могут выбираться динамически: например, быть функцией разницы скорости и положения. Для этого следует ознакомиться с такими терминами, как критические времена затухания и релаксации.