Двухуровневая система по Ито-исчислению

Я рассматриваю эволюцию двухуровневой квантовой системы, заданной

я ( с ˙ 1 с ˙ 2 ) "=" ( 1 2 Е Δ ( т ) Δ ( т ) − 1 2 Е ) ( с 1 с 2 ) .

Если Δ ( т ) является периодической, модель дает осцилляции Раби. Но сейчас я рассматриваю функцию Δ ( т ) быть настоящим гауссовским белым шумом, удовлетворяющим

⟨ Δ ( т ) ⟩ "=" 0 , ⟨ Δ ( т ) Δ ( т ′ ) ⟩ "=" Г 2 дельта ( т − т ′ ) .

В терминах стандартного винеровского процесса Вт т , уравнение Шредингера принимает вид

я г с 1 "=" 1 2 Е с 1 г т + Г с 2 г Вт т , я г с 2 "=" Г с 1 г Вт т − 1 2 Е с 2 г т ,

где оба с 1 г Вт т и с 2 г Вт т находятся в смысле Ито, что означает, что с 1 и с 2 находятся в т и г Вт т во время [ т , т + г т ] . Затем я перехожу к картинке взаимодействия

с ~ 1 "=" с 1 е я 2 Е т , с ~ 2 "=" с 2 е − я 2 Е т ,

так что с ~ 1 и с ~ 2 не развиваться, когда Г "=" 0 . В целом они удовлетворяют

я г с ~ 1 "=" Г с ~ 2 е я Е т г Вт т , я г с ~ 2 "=" Г с ~ 1 е − я Е т г Вт т .

Теперь, как мне перейти отсюда, чтобы выразить с ~ 1 и с ~ 2 через некоторый интеграл от Вт т ? Также мне интересно, получу ли я декогеренцию или все же просто осцилляции Раби, потому что система выборочно поглощает частоту Е от шума Вт т .

Это не домашнее задание...
Отлично. Сделайте это проще, чтобы люди могли его решить.

Ответы (1)

Чтобы решить эти уравнения

я г с ~ 1 "=" Г с ~ 2 е я Е т г Вт т , я г с ~ 2 "=" Г с ~ 1 е − я Е т г Вт т .

давайте посмотрим, сможем ли мы найти пару функций Ф 1 ( т , Икс ) и Ф 2 ( т , Икс ) такой, что с ~ 1 "=" Ф 1 ( т , Вт т ) и с ~ 2 "=" Ф 2 ( т , Вт т ) . Подставляем их в формулы, которые у нас есть

я г Ф 1 ( т , Вт т ) "=" Г Ф 2 ( т , Вт т ) е я Е т г Вт т , я г Ф 2 ( т , Вт т ) "=" Г Ф 1 ( т , Вт т ) е − я Е т г Вт т .

Применим теперь исчисление Ито к дифференциалам

я [ Ф 1 т ( т , Вт т ) г т + Ф 1 Икс ( т , Вт т ) г Вт т + 1 / 2 Ф 1 Икс Икс ( т , Вт т ) г т ] "=" Г Ф 2 ( т , Вт т ) е я Е т г Вт т , я [ Ф 2 т ( т , Вт т ) г т + Ф 2 Икс ( т , Вт т ) г Вт т + 1 / 2 Ф 2 Икс Икс ( т , Вт т ) г т ] "=" Г Ф 1 ( т , Вт т ) е − я Е т г Вт т .

В них буквы в обозначении индекса являются сокращением для частных производных по соответствующим переменным. Отсюда получаем следующие дифференциальные уравнения в частных производных

Ф 1 т ( т , Икс ) + 1 / 2 Ф 1 Икс Икс ( т , Икс ) "=" 0 , Ф 2 т ( т , Икс ) + 1 / 2 Ф 2 Икс Икс ( т , Икс ) "=" 0 , я Ф 1 Икс ( т , Икс ) "=" Г Ф 2 ( т , Икс ) е я Е т , я Ф 2 Икс ( т , Икс ) "=" Г Ф 1 ( т , Икс ) е − я Е т .

Взяв производную к Икс третьего уравнения и умножая на я мы получаем

− Ф 1 Икс Икс ( т , Икс ) "=" Г я Ф 2 Икс ( т , Икс ) е я Е т "=" Г 2 Ф 1 ( т , Икс )

где на последнем шаге я подставляю в четвертое уравнение. Наконец, подставляя это в первое уравнение, мы получаем

Ф 1 т ( т , Икс ) "=" Г 2 2 Ф 1 ( т , Икс )

которое представляет собой простое линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка в т . Решение

Ф 1 ( т , Икс ) "=" А ( Икс ) е Г 2 т / 2 .

С А ( Икс ) некоторую функцию, которую нужно определить из других уравнений. Например, заполнение результата для Ф 1 в первой формуле получаем следующее дифференциальное уравнение для А ( Икс ) :

А Икс Икс ( Икс ) + Г 2 А ( Икс ) "=" 0

решения которых

А ( Икс ) "=" Б е я Г Икс + Д е − я Г Икс

и поэтому

Ф 1 ( т , Икс ) "=" ( Б е я Г Икс + Д е − я Г Икс ) е Г 2 т / 2

а также

Ф 2 ( т , Икс ) "=" ( − Б е я Г Икс + Д е − я Г Икс ) е ( Г 2 / 2 − я Е ) т .

Таким образом

с ~ 1 "=" ( Б е я Г Вт т + Д е − я Г Вт т ) е Г 2 т / 2 , с ~ 2 "=" ( − Б е я Г Вт т + Д е − я Г Вт т ) е ( Г 2 / 2 − я Е ) т .

думаю можно показать | с ~ 1 | 2 + | с ~ 2 | 2 "=" с о н с т , поэтому амплитуды вероятности не должны расти экспоненциально. Но попробую идею с ~ я "=" Ф я ( т , Вт т ) , я "=" 1 , 2 .
Я тоже нашел это странным, но где-то может быть ошибка знака. Кроме того, я только что заметил несоответствие в вашей формулировке, где изменение изображения взаимодействия имеет 1 / 2 в показателях, но они не отображаются в ваших уравнениях ниже.
Я заметил одну ошибку в своих вычислениях. я забыл 1 / 2 Фактор себя. Я собираюсь это исправить.
На самом деле с ~ я "=" Ф я ( т , Вт т ) очень сильное предположение. Он предполагает с ~ я не зависит от предыдущего Вт т ′ с т ′ < т . Если вы подставите свое решение уравнения и обнаружите, что оно действительно работает, то все в порядке. В противном случае решение должно иметь некоторый интегральный вид.
Это хороший момент, но я не думаю, что это проблема здесь.
Я понял, в чем проблема. Мы оба были так уверены, что | с ~ 1 | 2 + | с ~ 2 | 2 "=" с о н с т , но на самом деле это не так. С помощью леммы Ито можно показать, что г | с ~ 1 | 2 "=" с ~ 1 * г с ~ 1 + с ~ 1 г с ~ 1 * + г с ~ 1 г с ~ 1 * "=" с ~ 1 * г с ~ 1 + с ~ 1 г с ~ 1 * + Г 2 | с ~ 2 | 2 г т и аналогично для г | с ~ 2 | 2 . Это даст г ( | с ~ 1 | 2 + | с ~ 2 | 2 ) "=" Г 2 ( | с ~ 1 | 2 + | с ~ 2 | 2 ) г т что соответствует моему ответу.
Спасибо. Я тоже это понял. В уравнении Шредингера отсутствует г т 2 срок опыт ⁡ ( − я ЧАС ( Δ ) г т ) потому что Δ ∼ О ( г т − 1 / 2 ) . Затем состояние остается нормализованным.
Декогеренция происходит в ансамблевом смысле. Для каждой отдельной случайной траектории спин- 1 / 2 чистое состояние остается чистым состоянием при унитарных эволюциях. Но поскольку шум неизвестен, конечное состояние представляет собой случайную смесь многих возможностей, что приводит к потере согласованности. Наилучший формализм для обработки случайной смеси — использование операторов Линдблада. В конце концов матрица плотности переходит в некогерентное состояние 1 2 ( | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | ) .
Двухуровневая система по Ито-исчислению
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v