Двухуровневая система с синусоидальным управлением (TLS)

Question

Двухуровневая система с синусоидальным управлением (TLS)

ЦельДляЯсности

Я пытаюсь решить вопрос управляемой двухуровневой системы (TLS или кубит), используя преобразование Фурье уравнения Шредингера (SHE), но я застреваю в решении уравнения.

Данный гамильтониан

ЧАС "=" (\begin{array}{cc} - \frac{ю_{0}}{2} & \frac{1}{2} В е^{я т ю_{Д}} \\ \frac{1}{2} В е^{- я т ю_{Д}} & \frac{ю_{0}}{2} \end{array})

$H=\left( \begin{array}{cc} -\frac{\omega _0}{2} & \frac{1}{2} V e^{i t \omega _D} \\ \frac{1}{2} V e^{-i t \omega _D} & \frac{\omega _0}{2} \\ \end{array} \right)$

и подключаемся к SHE:

я \frac{г}{дт} (\begin{matrix} с_{а} (т) \\ с_{б} (т) \end{matrix}) "=" ЧАС (\begin{matrix} с_{а} (т) \\ с_{б} (т) \end{matrix})

$i\frac{ d }{\text{dt}}\left( \begin{array}{c} c_a(t) \\ c_b(t) \\ \end{array} \right)=H \left( \begin{array}{c} c_a(t) \\ c_b(t) \\ \end{array} \right)$

Я получаю набор из двух связанных дифференциальных уравнений 1-го порядка, которые я затем преобразую Фурье и использую правило производной и правило сдвига, чтобы получить:

\левый(

\begin{matrix} - ю с_{а} (ю) "=" \frac{1}{2} В с_{б} (ю - ю_{Д}) - \frac{1}{2} ю_{0} с_{а} (ю) \\ - ю с_{б} (ю) "=" \frac{1}{2} В с_{а} (ю + ю_{Д}) + \frac{1}{2} ю_{0} с_{б} (ю) \end{matrix}

$\begin{array}{c} -\omega c_a(\omega )=\frac{1}{2} V c_b\left(\omega -\omega _D\right)-\frac{1}{2} \omega _0 c_a(\omega ) \\ -\omega c_b(\omega )=\frac{1}{2} V c_a\left(\omega +\omega _D\right)+\frac{1}{2} \omega _0 c_b(\omega ) \\ \end{array}$ \верно)

Если я сдвину $c_b$ уравнение:

- ю с_{б} (ю - ю_{Д}) "=" \frac{1}{2} В с_{а} (ю_{Д} - ю_{Д} + ю) + + \frac{1}{2} ю_{0} с_{б} (ю - ю_{Д})

$-\omega c_b\left(\omega -\omega _D\right)=\frac{1}{2} V c_a\left(\omega _D-\omega _D+\omega \right)++\frac{1}{2} \omega _0 c_b\left(\omega -\omega _D\right)$

и найдите термин, который я могу снова подключить к первому уравнению:

с_{б} (ю - ю_{Д}) "=" \frac{В с_{а} (ю)}{2 ю + ю_{0}}

$c_b\left(\omega -\omega _D\right)=\frac{V c_a(\omega )}{2 \omega +\omega _0}$

и решить для $c_a$ :

с_{а} (ю) "=" \frac{В^{2} с_{а} (ю)}{(2 ю)^{2} + ю_{0}^{2}}

$c_a(\omega )=\frac{V^2 c_a(\omega )}{(2 \omega )^2+\omega _0^2}$

Таким образом, это выглядит как функция Лоренца с шириной резонансной частоты и с центром в 0 умножает $c_a$ , но $c_a$ отменяет, если это не 0? или какая-то дельта-функция?

Вот тут я не понимаю, как приступить к решению проблемы дальше? Является ли частью проблемы то, что я решаю задачу без граничных условий, просто пытаясь найти устойчивое состояние?

Даниэль Санк

Вы можете найти мой ответ на этот вопрос ( physics.stackexchange.com/questions/138765/… ) полезным.

Ответы (1)

Двухуровневая система с синусоидальным управлением (TLS)

Вы можете найти мой ответ на этот вопрос ( physics.stackexchange.com/questions/138765/… ) полезным.

Эмилио Писанти · Answer 1

Решение состоит в том, чтобы понять, что стационарное решение системы с гармоническим приводом также должно колебаться гармонически. (Что касается вашего решения, это означает, что спектрально $c_i(\omega)$ являются дельта-функциями, что разрешает ваше противоречие.)

Таким образом, обычно начинают с постулирования колебательного анзаца.

с_{а} (т) "=" с_{а} е^{- я ю_{а} т}, с_{б} (т) "=" с_{б} е^{- я ю_{б} т},

$c_a(t)=c_a e^{-i\omega_a t},\,\, c_b(t)=c_b e^{-i\omega_b t},$ где

c_{a}

$c_a$ и

c_{b}

$c_b$ теперь константы. В качестве анзаца это безвредно, и если окажется, что это не решение, вы можете отказаться от него (но так оно и будет). Таким образом, ваше уравнение Шрёдингера гласит:

(\begin{matrix} - \frac{ю_{0}}{2} & \frac{1}{2} В е^{я т ю_{Д}} \\ \frac{1}{2} В е^{- я т ю_{Д}} & \frac{ю_{0}}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} с_{а} (т) \\ с_{б} (т) \end{matrix}) "=" я \frac{г}{г т} (\begin{matrix} с_{а} (т) \\ с_{б} (т) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} -\frac{\omega _0}{2} & \frac{1}{2} V e^{i t \omega _D} \\ \frac{1}{2} V e^{-i t \omega _D} & \frac{\omega _0}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_a(t) \\ c_b(t) \end{pmatrix} = i\frac d{dt} \begin{pmatrix} c_a(t) \\ c_b(t) \end{pmatrix}$ так

(\begin{matrix} - \frac{ю_{0}}{2} & \frac{1}{2} В е^{я т ю_{Д}} \\ \frac{1}{2} В е^{- я т ю_{Д}} & \frac{ю_{0}}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} с_{а} е^{- я ю_{а} т} \\ с_{б} е^{- я ю_{б} т} \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} ю_{а} с_{а} е^{- я ю_{а} т} \\ ю_{б} с_{б} е^{- я ю_{б} т} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} -\frac{\omega _0}{2} & \frac{1}{2} V e^{i t \omega _D} \\ \frac{1}{2} V e^{-i t \omega _D} & \frac{\omega _0}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_a e^{-i\omega_a t}\\ c_b e^{-i\omega_b t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega_a c_a e^{-i\omega_a t} \\ \omega_b c_b e^{-i\omega_b t} \end{pmatrix}$ или

{\begin{array}{ccc} - \frac{ю_{0}}{2} с_{а} е^{- я ю_{а} т} & + \frac{1}{2} В е^{я т ю_{Д}} с_{б} е^{- я ю_{б} т} & "=" ю_{а} с_{а} е^{- я ю_{а} т}, \\ \frac{1}{2} В е^{- я т ю_{Д}} с_{а} е^{- я ю_{а} т} & + \frac{ю_{0}}{2} с_{б} е^{- я ю_{б} т} & "=" ю_{б} с_{б} е^{- я ю_{б} т} . \end{array}

$\left\{ \begin{array}{ccc} -\frac{\omega _0}{2} c_a e^{-i\omega_a t} &+\frac{1}{2} V e^{i t \omega _D}c_b e^{-i\omega_b t} &= \omega_a c_a e^{-i\omega_a t}, \\ \frac{1}{2} V e^{-i t \omega _D} c_a e^{-i\omega_a t} & + \frac{\omega _0}{2} c_b e^{-i\omega_b t} & = \omega_b c_b e^{-i\omega_b t} . \end{array} \right.$ Это нужно, чтобы вы установили

ω_{a} + ω_{D} = ω_{b}

$\omega_a+\omega_D=\omega_b$ , после чего можно устранить зависимость от времени. Это оставляет вас с простой линейной системой

{\begin{array}{ccc} - \frac{ю_{0}}{2} с_{а} + \frac{1}{2} В с_{б} "=" ю_{а} с_{а}, \\ \frac{1}{2} В с_{а} + \frac{ю_{0}}{2} с_{б} "=" (ю_{а} + ю_{Д}) с_{б}, \end{array}

$\left\{ \begin{array}{ccc} -\frac{\omega _0}{2} c_a +\frac{1}{2} V c_b = \omega_a c_a , \\ \phantom+ \frac{1}{2} V c_a + \frac{\omega _0}{2} c_b = (\omega_a+\omega_D) c_b, \end{array} \right.$ которая является системой собственных значений для гамильтониана

H = (\begin{matrix} - \frac{ω_{0}}{2} & \frac{1}{2} V \\ \frac{1}{2} V & \frac{ω_{0}}{2} - ω_{D} \end{matrix})

$H=\begin{pmatrix} -\frac{\omega _0}{2} & \frac{1}{2} V \\ \frac{1}{2} V & \frac{\omega _0}{2} -\omega_D \end{pmatrix}$ .

Поскольку вы пометили это как домашнее задание , я оставлю расчет здесь, так как уверен, что вам лучше вычислить собственные векторы и собственные значения самостоятельно.

Извините, почему $\omega_a+\omega_D=\omega_b$ ? и какая дельта-функция является решением моего уравнения выше, это $\delta(\omega)$ или $\delta(\omega-\omega_D)$ или $\delta(\omega-\omega_0)$ ?
@AimForClarity Вы хотите, чтобы последнее уравнение с экспонентами сохранялось все время, а это означает, что все экспоненты должны быть идентичными, поэтому их частоты должны совпадать.
Я бы не советовал вам работать с этим представлением Фурье (оно только затемняет тот факт, что компоненты представляют собой просто колеблющиеся экспоненты). Если вы должны это знать, то решите эту последнюю собственную систему для $\omega_a$ и $\omega_b$ , и преобразование Фурье исходного анзаца для $c_a(t)$ и $c_b(t)$ .
Кстати, не забывайте, что вы можете голосовать и принимать ответы, которые вы считаете полезными !
Теперь, когда я думаю об этом, я могу отменить $c_a$ в $c_a(\omega )=\frac{V^2 c_a(\omega )}{(2 \omega )^2+\omega _0^2}$ и найдите омегу, что даст мне точно правильную частоту раби: $\Omega = \sqrt{\left(\frac{V}{2}\right)^2-\left(\frac{\omega _0}{2}\right){}^2}$ . Это говорит мне, что уравнение будет выполняться для любого отличного от 0 или не бесконечного $c_a$ и $c_b$ только в $\omega = \pm \Omega$ , и везде $c_a$ и $c_b$ должно быть равно 0 (или бесконечности, но это мы не учитываем как нефизическое).
Другими словами, решение представляет собой дельта-функцию при $\omega =\text{or} \pm \Omega c_a=C'_a \delta (\omega -\Omega ) \text{ + } C_a \delta (\omega -\Omega )$ , где $C_a$ , $C_b$ любые C-числа.
@AimForClarity, ваш последний комментарий был полностью искажен.
Извините, я все еще печатал, теперь все должно быть там.
Да, в пространстве Фурье это дельта-функция. Но опять же, ничего не получится, если не работать во временной области.

Двухуровневая система с синусоидальным управлением (TLS)

ЦельДляЯсности

Даниэль Санк

Ответы (1)

Эмилио Писанти

ЦельДляЯсности

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

ЦельДляЯсности

ЦельДляЯсности

Эмилио Писанти

ЦельДляЯсности

Эмилио Писанти

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Квантовая информационная помощь по энтропии фон Неймана / Шеннона

Локальная операция на двудольной квантовой системе [закрыто]

Почему состояние Белла можно подготовить?

Вероятность |+⟩|+⟩|+\rangle находиться в |0⟩|0⟩|0\rangle или |1⟩|1⟩|1\rangle?

Внутренние произведения, содержащие тензорное произведение двух операторов

Решение динамики матрицы плотности

Нормальный порядок и размытие

собственное разложение вентиля Адамара непрерывного формализма для произвольного количества кубитов

Существует ли схема, которая определенно различает состояния |0⟩|0⟩|0\rangle и |+⟩|+⟩|+\rangle?