Эффективный потенциал для керровской геометрии

В обзоре «Основы теории аккреционных дисков черных дыр» авторы определяют эффективный потенциал для геометрии Керра как (глава 2, уравнение 23)

U е ф ф "=" − 1 2 п ⁡ | г т т − 2 л г т ф + л 2 г ф ф |
где л "=" л Е "=" − ты ф ты т - удельный угловой момент, л "=" п ф угловой момент и Е "=" − п т это энергия.

Отмечено, что такая форма потенциала выбрана потому, что при использовании потенциала U е ф ф , пересчитанная энергия Е * "=" п ⁡ Е и В "=" ты р ты р + ты θ ты θ << ты ф ты ф , слегка некруговое движение можно охарактеризовать уравнением

1 2 В 2 "=" Е * − U е ф ф

Форма этого уравнения действительно похожа на форму уравнения Ньютона. Но в статье ничего не было сказано о выводе эффективного потенциала. Кроме того, я не мог понять, почему они перемасштабировали энергию как Е * "=" п ⁡ Е .

Мои вопросы:

  1. Как вывести эффективный потенциал U е ф ф ? Намек на вывод будет достаточно.
  2. В чем логика масштабирования сохраняемой энергии Е * "=" п ⁡ Е ?

Ответы (1)

Возьмем четырехскоростную нормализацию ты мю ты мю "=" − 1 и напишите как

1 + ты р ты р + ты ϑ ты ϑ "=" − г т т ты т 2 − 2 г т ф ты т ты ф − г ф ф ты ф 2
Теперь перепишите это в терминах Е "=" − ты т , ℓ "=" − ты ф / ты т , возьмем логарифм уравнения и воспользуемся свойствами п ⁡ ( Икс у ) "=" п ⁡ ( Икс ) + п ⁡ ( у ) и п ⁡ ( 1 + Икс ) "=" Икс + О ( Икс 2 ) . Количество Е * используется только потому, что она является аддитивной и на самом деле представляет собой удельную ньютоновскую энергию без члена массы покоя в ньютоновском пределе.

Я оставлю в качестве упражнения для дорогого читателя, что минимумы потенциала U е ф ф на самом деле также соответствуют круговым орбитам.

Спасибо. Я получил результат. Однако, когда я использовал этот эффективный потенциал для нахождения маргинально-связанных и маргинально-стабильных орбит, я обнаружил, что маргинально-связанная орбита точно совпадает с точным потенциалом Керра, но маргинально-стабильная орбита немного отличается. Что может быть возможной причиной этого?
Они должны быть абсолютно одинаковыми, я считаю, что ошибка может быть в вводе аналитической формулы для ISCO (это немного сложно) или в какой-то числовой ошибке. Я проверил, что формула Abramowicz & Fragile в живом обзоре верна.
Эффективный потенциал для керровской геометрии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v