Скорость убегания от вращающейся черной дыры

Question

Скорость убегания от вращающейся черной дыры

Физика
керр-метрика
скорость убегания
общая теория относительности
керр-ньюман-метрика
домашнее задание и упражнения

Юктерез

По Ньютону скорость убегания равна

в_{е с с} "=" с \sqrt{р_{с} / р}

$v_{esc} = \rm c \ \sqrt{r_s/r}$

где $\rm r_s=2 \ GM/c^2$ . В невращающемся релятивистском случае (случай Шварцшильда) радиальная скорость убегания одинакова:

в_{е с с}^{∥} "=" с \sqrt{р_{с} / р}

$v^{\parallel}_{esc} = \rm c \ \sqrt{r_s/r}$

это скорость света, $v={\rm c}$ , на горизонте событий в $\rm r=r_s$ . Так как фотонная сфера, где объект с $v={\rm c}$ не сбежит, а будет захвачен на орбиту, находится на $r=3 \ {\rm GM/c^2}$ , поперечная скорость убегания

в_{е с с}^{⊥} "=" с \sqrt{р_{с} / р} \div \sqrt{1 - р_{с} / р}

$v^{\perp}_{esc} = \rm c \ \sqrt{r_s/r}\div \sqrt{1-r_s/r}$

а для наблюдаемой (шапиро-запаздывающей) скорости ${\rm v}$ преобразование

в^{⊥} "=" в^{⊥} \sqrt{1 - р_{с} / р}, в^{∥} "=" в^{∥} (1 - р_{с} / р)

${\rm v}^{\perp}=v^{\perp} \ \sqrt{\rm 1-r_s/r} \ , \ \ {\rm v}^{\parallel}=v^{\parallel} \ (\rm 1-r_s/r)$

поэтому наблюдаемое угловое движение такое же, как у Ньютона, но местами выше, в то время как наблюдаемое радиальное движение замедляется из-за сокращения радиальной длины и замедления времени.

Но как насчет случая Керра, когда вращение значительно, а горизонт событий находится на $\rm r=(1+\sqrt{1-a^2}) \ {\rm GM/c^2}$ вместо $\rm r=r_s$ ?

Пробная частица, которая локально покоится и, следовательно, вращается вместе с угловой скоростью перетаскивания системы отсчета.

Ом "=" д ф / д т "=" 2 а р / ((а^{2} + р^{2})^{2} - а^{2} (а^{2} + (р - 2) р) {грех}^{2} (θ))

${\Omega = \rm d \phi/ {\rm d t} = {\rm 2 \ a \ r/((a^2+r^2)^2-a^2 (a^2+(r-2) \ r) \sin ^2(\theta ))}}$

должен испытывать фактор замедления времени

\dot{т} "=" д т / д т "=" \sqrt{((а^{2} + (р - 2) р) (а^{2} {потому что}^{2} (θ) + р^{2})) / ((а^{2} + р^{2})^{2} - а^{2} (а^{2} + (р - 2) р) {грех}^{2} (θ))}

$\rm \dot t = {\rm d t}/ {\rm d}\tau = \sqrt{{\rm ((a^2+(r-2) \ r) (a^2 \cos ^2(\theta )+r^2))/((a^2+r^2)^2-a^2 (a^2+(r-2) \ r) \sin ^2(\theta ))}}$

относительно удаленного наблюдателя, таким образом умножая $\Omega$ с $\rm \dot t$ должна давать локальную угловую скорость волочения рамы, которая, умноженная на $\rm \sqrt{x^2+y^2}$ значение преобразования Бойера-Линдквиста в декартово должно давать поперечную скорость - это немного ниже $\rm c$ для максимально вращающейся черной дыры (с $\rm a = 1$ - на краю внешней экваториальной эргосферы, где $\rm r=1$ и $\rm R=\sqrt{r^2+a^2}$ ).

Но как мне найти радиальную и полную скорости убегания, и каковы правила преобразования шапиро-запаздывающих координатных скоростей $\rm d r/d t \ , \ d \phi/d t \ , d \theta/d t$ к локальным 3-компонентам скорости $v^{\parallel}$ и $v^{\perp}$ пробной частицы (местное значение по отношению к рамочному волоченному зонду с постоянным $\rm r$ )? Сокращение радиальной длины кажется немного другим, чем в случае Шварцшильда, где оно совпадает с гравитационным фактором замедления времени...

Ответы (2)

Скорость убегания от вращающейся черной дыры

Юктерез · Answer 1

Осталось 2 часа, чтобы присудить награду, но ответа пока нет. По крайней мере, я узнал, что местная 3-скоростная

в "=" \sqrt{в_{р}^{2} + в_{θ}^{2} - в_{ф}^{2}} "=" \sqrt{в_{Икс}^{2} + в_{у}^{2} - в_{г}^{2}}

$\rm v=\sqrt{v_r^2+v_{\theta}^2-v_{\phi}^2}=\sqrt{v_x^2+v_y^2-v_z^2}$ связано с производными по координате

\dot{р}, \dot{θ}, \dot{ф}

$\rm \dot r, \ \dot \theta, \ \dot \phi$ к

\frac{в_{р}}{\sqrt{1 - в^{2}}} "=" \dot{р} \sqrt{\frac{Σ}{Δ}}

$\rm \frac{v_{r}}{\sqrt{1-v^2}} = \dot r \ \sqrt{\frac{\Sigma}{\Delta}}$ для радиальной составляющей,

\frac{в_{θ} \sqrt{Σ}}{\sqrt{1 - в^{2}}} "=" \dot{θ} Σ

$\rm \frac{v_{\theta} \ \sqrt{\Sigma}}{\sqrt{1-v^2}} = \dot \theta \ \Sigma$ с радиусом вращения

\bar{р} "=" \sqrt{\frac{{(а^{2} + р^{2})}^{2} - а^{2} Δ {грех}^{2} θ}{а^{2} {потому что}^{2} θ + р^{2}}}

$\bar R = \sqrt{\frac{\left(a^2+r^2\right)^2-a^2 \Delta \sin ^2 \theta }{a^2 \cos ^2 \theta +r^2}}$ для движения по широте и

\frac{в_{ф} \bar{р}}{\sqrt{1 - в^{2}}} "=" \dot{ф} Σ

$\rm \frac{v_{\phi} \ \bar{R}}{\sqrt{1-v^2}} = \dot \phi \ \Sigma$ для движения вдоль оси симметрии с членами

Σ "=" р^{2} + а^{2} {потому что}^{2} θ, Δ "=" р^{2} - 2 р + а^{2}

$\rm \Sigma = r^2 + a^2 \cos^{2} \theta, \quad \Delta = r^2 - 2 \ r + a^2$ и

x, y, z

$\rm x, \ y, \ z$ как декартово преобразование координат Бойера-Линдквиста.

С гравитационным замедлением времени

ς "=" \sqrt{\frac{{(а^{2} + р^{2})}^{2} - а^{2} (а^{2} + (р - 2) р) {грех}^{2} (θ)}{(а^{2} + (р - 2) р) (а^{2} {потому что}^{2} (θ) + р^{2})}}

$\rm \varsigma =\sqrt{\frac{\left(a^2+r^2\right)^2-a^2 \left(a^2+(r-2) r\right) \sin ^2(\theta )}{\left(a^2+(r-2) r\right) \left(a^2 \cos ^2(\theta )+r^2\right)}}$

и

ς "=" \frac{1}{\sqrt{1 - в_{е с с}^{2}}}

$\rm \varsigma = \frac{1}{\sqrt{1-v_{esc}^2 }}$

радиальная скорость убегания должна быть

в_{е с с} "=" \frac{\sqrt{ς^{2} - 1}}{ς}

$\rm v_{esc}=\frac{\sqrt{\varsigma ^2-1}}{\varsigma }$

который в пределе $a\to 0$ дает тот же результат, что и Шварцшильд.

Пример пробной частицы, выбрасываемой радиально вверх с локальной скоростью убегания коротирующим ЗАМО, находящимся близко над горизонтом под углом θ = 45 °:

(Параметр Spin в анимации равен a=Jc/G/M²=0,998)

Не могли бы вы объяснить единицы $r$ . Выражается ли оно кратным $2GM/c^2$ ?
r измеряется в единицах 1GM/c², где M — гравитационная масса (не путать с неприводимой массой).

Джерри Ширмер · Answer 2

Джерри Ширмер

На этот вопрос есть сложный ответ, поскольку орбиты Керра не могут быть интегрированы так же легко, как орбиты Шварцшильда. Ваш ответ будет зависеть от того, где вы сидите на горизонте и в каком направлении вы движетесь. На самом деле я не знаю, действительно ли понятие «скорости убегания» работает в теории относительности, как в классической теории, особенно в случае керровской дыры.

Юктерез

Связь между гравитационным замедлением времени и скоростью убегания работает всегда, поэтому, конечно, она также работает в пространстве-времени Керра, см. предпоследнее уравнение на en.wikipedia.org/wiki/… и анимацию объекта, покидающего эргосферу со скоростью убегания. под разными углами см. notizblock.yukterez.net/viewtopic.php?p=361#p361

Юктерез

Кстати, при использовании Шварцшильда это уже зависит от угла, так как выше r=2GM/c² (горизонт событий) фотон может уйти радиально, а ниже r=3GM/c² уже будет захвачен поперечный фотон (фотон сфера) даже в невращающемся случае. Скорость убегания всегда выражается радиальным движением (в керровском случае относительно местного ЗАМО), только у Ньютона направление не имеет значения.

Юктерез

Но вы правы, ответ зависит от того, где вы сидите, поэтому зависимость от θ в уравнении для ς и v_esc.

Джерри Ширмер

@СимонТыран: Хорошо, если вас устраивает «скорость убегания», которая зависит от шести параметров (радиус от звезды, угловое положение и три компонента скорости), я думаю, вы можете ее определить. Но вряд ли это можно назвать "скоростью убегания", поскольку для меня ключевой частью этой концепции является независимость от направления.

Юктерез

Но независимости от направления не получишь, даже у Шварцшильда есть зависимость. Как вы можете видеть на анимации выше, если тестовая частица начинается с v local = v escape, она сохраняет v local = v escape на всем пути. Тот факт, что в системе отсчета ZAMO направление должно быть чисто радиальным, немного упрощает ее, если вы задаете начальную скорость относительно него, вам не нужно беспокоиться о других компонентах, кроме радиальных. Вы также можете использовать правило, если E кинетическая + E потенциальная = 0 и угловой момент = 0, это дает радиальную скорость убегания.

Юктерез

Между прочим, одно из определений горизонта событий состоит в том, что скорость убегания сходится к с (это справедливо как для Шварцшильда, так и для Керра), так что ее с уверенностью можно назвать скоростью убегания, хотя она всегда зависит от направления даже в полностью симметричном пространстве. Дело Шварцшильда.

Джерри Ширмер

@СимонТыран: Я бы тоже не назвал это «скоростью убегания» в случае Шварцшильда.

Юктерез

Но если вы погуглите «скорость убегания по Шварцшильду», вы найдете кучу авторитетных источников, которые называют это так же, и с определением, данным в Википедии: «В физике скорость убегания — это минимальная скорость, необходимая для того, чтобы объект покинул гравитационное влияние массивного тела» нет необходимости в независимости от угла.

АВС

@СимонТыран: минимальная скорость подразумевает минимизацию по всем возможным углам, так что это определение не зависит от угла.

Скорость убегания от вращающейся черной дыры

Юктерез

Ответы (2)

Юктерез

ПрофРоб

Юктерез

Джерри Ширмер

Юктерез

Юктерез

Юктерез

Джерри Ширмер

Юктерез

Юктерез

Джерри Ширмер

Юктерез

АВС

Эффективный потенциал для керровской геометрии

Фильм Интерстеллар - Вопрос о скорости убегания

Заряженные и вращающиеся черные дыры как разные виды червоточин

Какова связь между орбитальной скоростью и скоростью убегания в сильно релятивистских ситуациях?

Метрический диаметр кольцевой особенности

Скорость убегания для метрики Шварцшильда

Безмассовая черная дыра Керра

Теорема Стокса в действии Эйнштейна-Гильберта

Решения геодезических уравнений в пространстве AdS3

Управление гипергеометрическими функциями