Решения геодезических уравнений в пространстве AdS3

Question

Решения геодезических уравнений в пространстве AdS3

Cyphox32

Я борюсь с заданием от моего лектора, он попросил меня численно (математика) и аналитически вычислить решения для траектории точечной частицы в пространстве AdS3 с глобальными координатами, заданными метрикой

г с^{2} "=" р^{2} (- {чушь}^{2} (р) г т^{2} + г р^{2} + {грех}^{2} (р) г ф^{2})

$ds^2=R^2(-\cosh^2(\rho)dt^2+d\rho^2+\sinh^2(\rho)d\phi^2)$ Я рассчитал три геодезических уравнения движения

\ddot{р} + грех (р) чушь (р) (\dot{т} \dot{т} - \dot{ф} \dot{ф}) "=" 0

$\ddot{\rho}+\sinh(\rho)\cosh(\rho)(\dot{t}\dot{t}-\dot{\phi}\dot{\phi})=0$

\ddot{ф} + ткань (р) \dot{р} \dot{ф} "=" 0

$\ddot{\phi}+\coth(\rho)\dot{\rho}\dot{\phi}=0$

\ddot{т} + танх (р) \dot{р} \dot{т} "=" 0

$\ddot{t}+\tanh(\rho)\dot{\rho}\dot{t}=0$

Я понимаю, что они связаны, но я, честно говоря, понятия не имею, как я найду $\rho(\tau)$ , $t(\tau)$ и $\phi(\tau)$ .

секавара

Во-первых, я думаю, что у вас могут отсутствовать некоторые множители 2 в

ϕ

$\phi$ и

t

$t$ уравнения.

секавара

Во-вторых, легко разрешимый случай, когда

ρ

$\rho$ фиксированный.

Cyphox32

Привет Секавара, не могли бы вы уточнить?

секавара

О, я сделал несколько каракулей, так что могу ошибаться, но для

ϕ

$\phi$ и

t

$t$ я получил

\ddot{ϕ} + 2 \coth (ρ) \dot{ρ} \dot{ϕ} = 0

$\ddot{\phi}+2\coth(\rho) \dot{\rho} \dot{\phi} = 0$ и

\ddot{t} + 2 \tanh (ρ) \dot{ρ} \dot{t} = 0

$\ddot{t}+2\tanh(\rho) \dot{\rho} \dot{t} = 0$ . И затем заметьте, что если мы возьмем

\dot{ρ} = 0

$\dot{\rho} = 0$ , то мы можем легко найти некоторые геодезические.

секавара

В таком случае,

t = a + b τ

$t=a+b\tau$ и

ϕ = c \pm b τ

$\phi=c \pm b\tau$ .

Ответы (1)

Решения геодезических уравнений в пространстве AdS3

Во-первых, я думаю, что у вас могут отсутствовать некоторые множители 2 в $\phi$ и $t$ уравнения.
Во-вторых, легко разрешимый случай, когда $\rho$ фиксированный.
Привет Секавара, не могли бы вы уточнить?
О, я сделал несколько каракулей, так что могу ошибаться, но для $\phi$ и $t$ я получил $\ddot{\phi}+2\coth(\rho) \dot{\rho} \dot{\phi} = 0$ и $\ddot{t}+2\tanh(\rho) \dot{\rho} \dot{t} = 0$ . И затем заметьте, что если мы возьмем $\dot{\rho} = 0$ , то мы можем легко найти некоторые геодезические.
В таком случае, $t=a+b\tau$ и $\phi=c \pm b\tau$ .

Доктор Икьот Сингх Кохли · Answer 1

Предполагая, что ваши уравнения верны (я не проверял), такие связанные ОДУ (и геодезические уравнения в целом) должны решаться численно. Хитрость заключается в использовании стандартных решателей Рунге-Кутты, наиболее удобно иметь дело с системами первого порядка. В общем, учитывая геодезические уравнения:

$\ddot{x}^{a} + \Gamma^{a}_{bc} \dot{x}^{b} \dot{x}^{c} = 0$ ,

мы можем записать их как систему первого порядка:

$\dot{x}^{a} = v^{a}$ , $\dot{v}^{a} = - \Gamma^{a}_{bc} v^{b} v^{c}$

Итак, для вашей системы выше определите $x^{a} = \dot{\rho}^{a}$ , $y^{a} = \dot{\phi}^{a}$ , и $z^{a} = \dot{t}^{a}$ . Тогда в сочетании с оставшимися уравнениями у вас есть 6-мерная система первого порядка, и решения будут зависеть от задания 6 таких начальных условий.

Надеюсь это поможет.

Использование решателей RK вряд ли можно назвать «хитростью», так как они являются одними из самых популярных и часто являются «переходными», прежде чем прибегать к более сложным методам.
@JamalS Я думаю, ты слишком буквально воспринял мое предложение. Решатели RK изначально не работают с ОДУ 2-го порядка, «хитрость» заключается в том, чтобы написать ОДУ 2-го порядка как ОДУ первого порядка, а затем применить методы РК.
@Dr.IkjyotSinghKohli Я добился значительного прогресса в своей проблеме, однако у меня возникли проблемы с указанием начальных условий, которые приводят к стабильному решению в соответствии с используемым решателем. Спасибо
@Cyphox32 привет. Да. Это часто является проблемой в таких числовых приложениях. Возможно, вы захотите взглянуть на использование MATLAB/Octave/NumPY/SciPy в Python для таких вещей. В MATLAB есть очень мощные численные решатели: ODe23s, OdE45 и т. д., и с ними легче экспериментировать с начальными условиями.

Решения геодезических уравнений в пространстве AdS3

Cyphox32

секавара

секавара

Cyphox32

секавара

секавара

Ответы (1)

Доктор Икьот Сингх Кохли

ДжамалС

Доктор Икьот Сингх Кохли

Cyphox32

Доктор Икьот Сингх Кохли

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Геодезическое уравнение и нормализация 4-скорости

Насколько близко наблюдатель может приблизиться к черной дыре при пролете без двигателя, не упав в нее?

Нулевые геодезические в метрике однородного гравитационного поля

Доказательство: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} для пространства-времени Шварцшильда

Уравнения геодезических по вариационному принципу

Эквивалентность уравнения геодезической и уравнения неразрывности для тензора энергии-импульса

Трассировка лучей в общей теории относительности