Управление гипергеометрическими функциями

Question

Управление гипергеометрическими функциями

Физика
специальные функции
общая теория относительности
дифференциальные уравнения
домашнее задание и упражнения

Карл

У меня есть дифференциальное уравнение:

(ф Φ^{'})^{'} - \frac{л (л + 1)}{р^{2}} Φ "=" 0,

$(f\Phi')'-\frac{l(l+1)}{r^2}\Phi=0,$

который я решил с помощью программы, которая дает

Φ (р) "=" С_{1} (\frac{р}{р})^{2}_{2} Ф_{1} (1 - л, 2 + л, 3, \frac{р}{р}) .

$\Phi(r)=C_1 (\frac{r}{R})^{2}{_2 }F_1 (1-l,2+l,3,\frac{r}{R}).$

Хотя технически это работает, я хочу, чтобы это было в следующей форме:

Φ_{<} (р) "=" С_{1} (\frac{р}{р_{0}})_{}^{л + 1}_{2} Ф_{1} (- л - 1, - л + 1, - 2 л, \frac{р}{р})

$\Phi_<(r)=C_1 (\frac{r}{r_0})^{l+1}_{} {_2 }F_1 (-l-1,-l+1,-2l,\frac{R}{r})$ когда

r < r_{0}

$r<r_0$

и

Φ_{>} (р) "=" С_{2} (\frac{р_{0}}{р})^{л}_{2} Ф_{1} (л, л + 2, 2 л + 2, \frac{р}{р})

$\Phi_>(r)=C_2 (\frac{r_0}{r})^{l}{_2 }F_1 (l,l+2,2l+2,\frac{R}{r})$ когда

r > r_{0}

$r>r_0$

на произвольное расстояние $r_0 >R$ . Также, $f=1-\frac{R}{r}.$

Обе вышеупомянутые функции удовлетворяют моему дифференциальному уравнению, поэтому должен быть способ записать каждую из этих функций в терминах той, которую нашла моя программа. Может ли кто-нибудь дать мне несколько советов? Для небольшого дополнительного контекста мое решение соответствует потенциалу, который некоторая частица чувствует вне черной дыры в пространстве-времени Шварцшильда, где $R$ это положение горизонта событий и $r_0$ мгновенное положение частицы.

Селена Рутли

Это хорошо написанный вопрос, но разве нет статьи, посвященной вашей проблеме GR? (Возможно, я не слишком хорошо понял ваше описание, но это звучит как стандартная проблема GR).

Ответы (2)

Управление гипергеометрическими функциями

Это хорошо написанный вопрос, но разве нет статьи, посвященной вашей проблеме GR? (Возможно, я не слишком хорошо понял ваше описание, но это звучит как стандартная проблема GR).

Майк Стоун · Answer 1

Я думаю, вам нужны формулы связи, которые связывают решения о трех регулярных особых точках друг с другом. Краткое обсуждение начинается на странице 408 моих конспектов лекций:

http://courses.physics.illinois.edu/phys509/sp2017/bmaster.pdf

Эй, это потрясающе! В течение многих лет я намеревался найти что-то еще (математические факты и интуицию, а не непонятные формулы) о гипергеометрии, кроме того, что Mathematica выдает как решение линейного DE второго порядка, и не обошло это. Они тоже выглядят как довольно большие ноты
Хотя теоретически это может ответить на вопрос, было бы предпочтительнее включить сюда основные части ответа и предоставить ссылку для справки.

N0va · Answer 2

С заменой $x\equiv r/R$ можно преобразовать ОДУ в гипергеометрическое уравнение:

Икс (1 - Икс) ф^{″} (Икс) - ф^{'} (Икс) + л (л + 1) ф (Икс) "=" 0.

$x(1-x)\phi''(x)-\phi'(x)+l(l+1)\phi(x)=0.$ Это соответствует

(a, b, c) = (- 1 - l, l, - 1)

$(a,b,c)=(-1-l,l,-1)$ или эквивалентно

(l, - 1 - l, - 1)

$(l,-1-l,-1)$ . Гипергеометрическое ОДУ имеет два линейных независимых решения.

ϕ_{1}

$\phi_1$ и

ϕ_{2}

$\phi_2$ .

Для $|x|<1$ и $c\neq 0,1,2,\dots$ :

ф_{1}^{<} (Икс) "="_{2} Ф_{1} (а, б, с, Икс)

$\phi_1^<(x)= {}_2 F_1(a,b,c,x)$

ф_{2}^{<} (Икс) "=" {Икс}^{1 - с}_{2} Ф_{1} (а - с + 1, б - с + 1, 2 - с, Икс)

$\phi_2^<(x)= x^{1-c}{}_2 F_1(a-c+1,b-c+1,2-c,x)$

Для $|x|>1$ и $a-b\neq 0,1,2,\dots$ :

ф_{1}^{>} (Икс) "=" {Икс}^{- а}_{2} Ф_{1} (а, а - с + 1, а - б + 1, {Икс}^{- 1})

$\phi_1^>(x)= x^{-a}{}_2 F_1(a,a-c+1,a-b+1,x^{-1})$

ф_{2}^{>} (Икс) "=" {Икс}^{- б}_{2} Ф_{1} (б, б - с + 1, б - а + 1, {Икс}^{- 1})

$\phi_2^>(x)= x^{-b}{}_2 F_1(b,b-c+1,b-a+1,x^{-1})$

Подключаем определение для $x$ и значения $(a,b,c)$ можно получить решения, которые ищет ОП. Могу порекомендовать А. Джеффри и Х. Дая - 2008 г. - Справочник по математическим формулам и интегралам - 4-е изд . Формулы, которые я дал, взяты из этой книги, с. 22.17.

Управление гипергеометрическими функциями

Карл

Селена Рутли

Ответы (2)

Майк Стоун

Селена Рутли

Кайл Канос

N0va

Теорема Стокса в действии Эйнштейна-Гильберта

Решения геодезических уравнений в пространстве AdS3

Эффективный потенциал для керровской геометрии

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Как найти нулевую геодезическую?

Ограничение лагранжиана

Два наблюдателя Робертсона-Уокера, в какое время будет получен световой сигнал?

Векторы убийства - метрика Шварцшильда

Как показать, что каждое векторное поле Киллинга является коллинеацией материи?

Как представить эту метрику в матричной форме? [закрыто]