Эквивалентное «емкостное реактивное сопротивление» для расчета среднеквадратичного значения тока при форме волны переменного напряжения смешанной частоты.

Question

Эквивалентное «емкостное реактивное сопротивление» для расчета среднеквадратичного значения тока при форме волны переменного напряжения смешанной частоты.

переменный ток
Физика
реактивное сопротивление
схема-анализ

пользователь115412

Я хочу проанализировать очень простую схему с не очень простой формой волны переменного напряжения. В частности, моя схема состоит просто из одного конденсатора с емкостью $C$ и источник переменного напряжения $V$ . Сейчас если $V$ работали на фиксированной угловой частоте $\omega$ , то я мог бы рассчитать емкостное реактивное сопротивление $X_c$ очень просто как:

{Икс}_{с} (ю) "=" \frac{1}{ю С}

$X_c(\omega) = \frac{1}{\omega C}$

Однако что, если форма волны моего источника напряжения состоит из смеси частот, заданных функцией спектральной плотности, т. е. преобразованием Фурье):

ф (ю) : \int_{0}^{\infty} ф (ю) д ю "=" 1

$f(\omega):\int_{0}^{\infty} f(\omega)d\omega = 1$

Вопрос : Мне было интересно, существует ли способ получить «эквивалентное емкостное реактивное сопротивление». $X_{c,eqiv}$ так что:

я_{р м с} "=" \frac{В_{р м с}}{{Икс}_{с, е д я в}}

$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_{c,eqiv}}$

??

Моя первоначальная реакция такова $X_c(\omega)$ является аддитивным по частотам, поэтому мы получаем функционал:

{Икс}_{с, е д ты я в} "=" \int_{0}^{\infty} \frac{ф (ю)}{ю С} д ю

$X_{c,equiv}= \int_{0}^{\infty} \frac{f(\omega)}{\omega C}d\omega$

С требованием, чтобы

\underset{т \to 0}{лим} \frac{ф (т)}{т} < \infty

$\lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t} < \infty$

чтобы убедиться, что несобственный интеграл сходится.

Если $f(0)=0$ то мы можем использовать правило больницы, чтобы усилить это:

ф^{'} (0) < \infty

$f'(0)<\infty$

Вопрос: Это правильный подход к получению $X_c$ для смешанных цепей?

Ответ на комментарий Энди ака

Энди запросил конкретный сценарий. Ниже приведен пример установки, которую я анализирую:

схематический

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

Форма сигнала источника напряжения $V(t)$ имеет следующее преобразование Фурье в частотной области ( $f$ в кГц):

С (ф) "=" \frac{е^{- \frac{1}{2} {бревно}^{2} (ф)}}{\sqrt{2 π} ф}

$S(f) = \frac{e^{-\frac{1}{2} \log^2(f)}}{\sqrt{2 \pi} f}$

Я буду контролировать ток в указанной точке и вычислять среднеквадратичное значение результирующей формы волны тока.

Это довольно типичная установка, хотя конкретные значения могут измениться, или я могу использовать другое распределение по частотам.

Чу

Чтобы уточнить ваш вопрос, если вы возьмете простой случай, когда

f (ω)

$f(\omega)$ состоит из двух дискретных синусоид, скажем,

ω_{1}

$\omega_1$ и

ω_{2}

$\omega_2$ , что даст два значения

X_{c}

$X_c$ . В каком смысле эти два значения реактивного сопротивления будут аддитивными? Другими словами, что бы

X_{c} (f)

$X_c(f)$ выглядит как?

пользователь115412

@ Чу в таком случае,

f (ω)

$f(\omega)$ будет иметь форму

f (ω) = α 1 (ω)_{ω_{1}} + (1 - α) 1 (ω)_{ω_{2}}

$f(\omega)=\alpha 1(\omega)_{\omega_1} + (1-\alpha) 1(\omega)_{\omega_2}$ где

0 \leq α \leq 1

$0\leq \alpha \leq 1$ и результирующая емкость будет

X_{c} (f) = α X_{c} (ω_{1}) + (1 - α) X_{c} (ω_{2})

$X_c(f) = \alpha X_c(\omega_1)+(1-\alpha) X_c(\omega_2)$

пользователь115412

@ Чу а, большое спасибо. Да, мне было интересно, где в игру вступила аддитивность. Я надеялся, что смогу уменьшить сложную ситуацию, которую я описываю, в схему «среднеквадратичного эквивалента», управляемую одночастотным переменным напряжением и некоторой емкостью. Как из ваших комментариев, так и из комментариев Энди, похоже, что это интегрирование должно происходить при самом фактическом среднеквадратичном значении, а не при основном реактивном сопротивлении (т.е., возможно, нет аналога теоремы Тевенина для цепей постоянного тока для этой ситуации).

пользователь115412

@ Чу, куда ты прокомментировал? Это было полезно.

капитанj2001

@Bey Ваш амперметр ничего не заметит, если он не включен последовательно с током, который вы хотите измерить.

пользователь115412

@Captainj2001Captainj2001 Спасибо... Я не инженер-электрик (прикладная/инженерная математика), поэтому я писал это как контрольную точку... Я исправлю.

Ответы (2)

Эквивалентное «емкостное реактивное сопротивление» для расчета среднеквадратичного значения тока при форме волны переменного напряжения смешанной частоты.

Чтобы уточнить ваш вопрос, если вы возьмете простой случай, когда $f(\omega)$ состоит из двух дискретных синусоид, скажем, $\omega_1$ и $\omega_2$ , что даст два значения $X_c$ . В каком смысле эти два значения реактивного сопротивления будут аддитивными? Другими словами, что бы $X_c(f)$ выглядит как?
@ Чу в таком случае, $f(\omega)$ будет иметь форму $f(\omega)=\alpha 1(\omega)_{\omega_1} + (1-\alpha) 1(\omega)_{\omega_2}$ где $0\leq \alpha \leq 1$ и результирующая емкость будет $X_c(f) = \alpha X_c(\omega_1)+(1-\alpha) X_c(\omega_2)$
@ Чу а, большое спасибо. Да, мне было интересно, где в игру вступила аддитивность. Я надеялся, что смогу уменьшить сложную ситуацию, которую я описываю, в схему «среднеквадратичного эквивалента», управляемую одночастотным переменным напряжением и некоторой емкостью. Как из ваших комментариев, так и из комментариев Энди, похоже, что это интегрирование должно происходить при самом фактическом среднеквадратичном значении, а не при основном реактивном сопротивлении (т.е., возможно, нет аналога теоремы Тевенина для цепей постоянного тока для этой ситуации).
@ Чу, куда ты прокомментировал? Это было полезно.
@Bey Ваш амперметр ничего не заметит, если он не включен последовательно с током, который вы хотите измерить.
@Captainj2001Captainj2001 Спасибо... Я не инженер-электрик (прикладная/инженерная математика), поэтому я писал это как контрольную точку... Я исправлю.

капитанj2001 · Answer 1

Поскольку вы определили схему для анализа, давайте рассмотрим обычный метод анализа с использованием передаточных функций. Обычный метод анализа схем такого типа называется анализом передаточной функции, т. е. нахождением зависимости выходного тока, который я буду считать протекающим через конденсатор, от входного напряжения. То есть передаточная функция определяется:

ЧАС (Дж ю) "=" \frac{я_{о ты т} (Дж ю)}{В_{я н} (Дж ю)} (С)

$H(j\omega) = \frac{I_{out}(j\omega)}{V_{in}(j\omega)}~(S)$ Для представленной схемы это дает передаточную функцию напряжение -> ток (с единицами Сименса):

я_{о ты т} (Дж ю) "=" \frac{В_{я н} (Дж ю)}{\frac{1}{Дж ю С}} "=" Дж ю С В_{я н} (Дж ю) ЧАС (Дж ю) "=" Дж ю С

$I_{out}(j\omega) = \frac{V_{in}(j\omega)}{\frac{1}{j\omega C}}=j\omega C V_{in}(j\omega)\\ H(j\omega) = j\omega C$ Поскольку вы решили, что входное частотное распределение будет распределено по логарифмическому квадрату:

В_{я н} (Дж ю) "=" \frac{е^{- \frac{1}{2} {бревно}^{2} (Дж ю)}}{Дж ю \sqrt{2 π}}

$V_{in}(j\omega) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\log^2(j\omega)}}{j\omega\sqrt{2\pi}}$

я_{о ты т} (Дж ю) "=" ЧАС (Дж ю) В_{я н} (Дж ю) "=" \frac{е^{- \frac{1}{2} {бревно}^{2} (Дж ю)}}{Дж ю \sqrt{2 π}} \cdot Дж ю С "=" \frac{С е^{- \frac{1}{2} {бревно}^{2} (Дж ю)}}{\sqrt{2 π}}

$I_{out}(j\omega) = H(j\omega)V_{in}(j\omega) \\ = \frac{e^{-\frac{1}{2}\log^2(j\omega)}}{j\omega\sqrt{2\pi}}\cdot j\omega C \\ = \frac{Ce^{-\frac{1}{2}\log^2(j\omega)}}{\sqrt{2\pi}}$ Если вы хотите увидеть, как этот ответ выглядит во временной области, вы можете найти текущую область реального времени, выполнив обратное преобразование Фурье:

я_{о ты т} (т) "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} я_{о ты т} (Дж ю) е^{Дж ю т} д ю

$I_{out}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty I_{out}(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$ Константа, прикрепленная к преобразованию Фурье, будет зависеть от того, какую «форму» преобразования вы используете. Обычно в EE мы присоединяем константу к обратному преобразованию.

Спасибо! Я пытался выяснить распределение тока, если бы источник напряжения был белым шумом (гауссовым). Таким образом, похоже, что не существует простой схемы, эквивалентной тевенину, работающей на фиксированной частоте (это то, что я предположил в своем посте).
В частности, я надеялся, что смогу рассчитать свое «эквивалентное реактивное сопротивление». $X_c(f)$ и получить среднеквадратичное значение тока как $I_{rms}=\frac{V_{rms}}{X_c(f)}$
@Bey Вы можете рассчитать эквивалентные схемы Thevenin в частотной области, используя тот же метод, т. Е. Найдя ток короткого замыкания и напряжение холостого хода между двумя узлами. Ваша эквивалентная схема Thevenin будет иметь комплексное сопротивление вместо реального сопротивления.
Еще раз спасибо! Итак, если я знаю свое среднеквадратичное напряжение, могу ли я рассчитать эквивалентную емкость, как указано в моем предыдущем комментарии (обратите внимание, я создал новый вопрос именно об этой проблеме: electronics.stackexchange.com/questions/243674/… )

Энди ака · Answer 2

Энди ака

Моя первоначальная реакция состоит в том, что Xc(ω) является аддитивным по частотам

Возьмем простой конденсатор емкостью 1 мкФ на частоте 1 кГц — его реактивное сопротивление равно 159 Ом. Это так просто.

Да, у него реактивное сопротивление 15,9 Ом на частоте 10 кГц, но никто не говорит, что реактивное сопротивление составляет 159 Ом параллельно (или последовательно) с 15,9 Ом. Сделать это — значит упустить весь смысл.

пользователь115412

Спасибо, но меня интересует реакция моей простой схемы на сигнал смешанной частоты. Так что да, я могу говорить о его реактивном сопротивлении точечно, но моя схема реагирует на определенное сочетание частот. Например, каково среднеквадратичное значение тока приведенной выше цепи, если ее спектральная плотность переменного тока имеет, скажем, логнормальное (0,1) распределение?

Энди ака

Вы упускаете момент, когда думаете, что можете добавлять реактивные сопротивления на разных частотах, и я не собираюсь приводить какой-то гипотетический пример, чтобы доказать бесполезность вашей веры в то, что каким-то образом добавление реактивных сопротивлений имеет какое-либо значение.

пользователь115412

Послушайте, я пытаюсь понять реакцию этой простой схемы на смешанный входной сигнал. Моя первоначальная догадка заключается в том, что указано выше. Я не утверждаю, что это правильно. Это мой вопрос, и я был бы признателен, если бы вы могли указать правильный способ думать об этом. Конкретным примером является расчет результирующего среднеквадратичного значения тока цепи с учетом формы входного сигнала.

пользователь115412

Я предполагаю, что более широкий (слишком широкий) вопрос заключается в том, как анализировать поведение схемы, если она управляется чем-то другим, кроме хорошего синусоидального напряжения.

Энди ака

Нарисуйте/опишите схему и укажите форму входного сигнала. Затем укажите сигнал, который вы хотите «понять», созданный реактивным компонентом, изменяющим форму входного сигнала. Невозможно обобщить концепцию, в которой, как мне кажется, вы упускаете смысл.

пользователь115412

Хорошо, я включил конкретную настройку, чтобы показать, чего я пытаюсь достичь. Надеюсь, это поможет. Спасибо за любые указатели, которые вы можете предоставить.

Эквивалентное «емкостное реактивное сопротивление» для расчета среднеквадратичного значения тока при форме волны переменного напряжения смешанной частоты.

пользователь115412

Ответ на комментарий Энди ака

Чу

пользователь115412

пользователь115412

пользователь115412

капитанj2001

пользователь115412

Ответы (2)

капитанj2001

пользователь115412

пользователь115412

капитанj2001

пользователь115412

Энди ака

пользователь115412

Энди ака

пользователь115412

пользователь115412

Энди ака

пользователь115412

Мгновенная мощность по сравнению со средней мощностью

Почему на металлическом экране нашей розетки переменного тока написано 66 В переменного тока?

Электротехника - Трансформатор

Цепь RLC с сопротивлением, объединенным с катушкой индуктивности. Правильно ли мое решение?

Получение уравнения баланса моста Андерсона

Зачем использовать комплексные числа для представления амплитуды и фазы переменного тока

Понимание этой схемы со связью по переменному току

проблема с цепью переменного тока

Помогите решить задачу по теории цепей переменного тока

Решение параллельной схемы RL для значений r и l