Эквивалентное вращение с использованием соотношения Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа

1. Формула Бейкера -Кэмпбелла-Хаусдорфа (БХХ) для трехмерных вращений действительно может быть суммирована. Здесь мы просто сформулируем результат в обозначениях работы. 1.

   Трехмерные вращения описываются группой Ли $SO(3)$. Соответствующая алгебра Ли $so(3)$является

   $$\begin{align} [L_j, L_k] ~=~& i\sum_{\ell=1}^3\epsilon_{jk\ell} L_{\ell}, \cr j,k,\ell~\in~& \{1,2,3\},\cr \epsilon_{123}~=~&1, \cr i^2~=~&-1.\end{align}\tag{1}$$ В присоединенном представлении три образующих алгебры Ли$iL_{\ell}\in{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R})$,$\ell\in\{1,2,3\}$, являются$3\times 3$вещественные антисимметричные матрицы, $$\begin{align}i(L_j)_{k\ell} ~=~& \epsilon_{jk\ell} ,\cr j,k,\ell~\in~& \{1,2,3\}.\end{align} \tag{2}$$

2. Матрица вращения

   $$R(\vec{\alpha})~\in~ SO(3)~ \subseteq ~{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \tag{3}$$ может быть задан осью вращения и углом поворота . Здесь мы будем использовать 3-вектор $$\vec{\alpha}~=~\alpha \vec{n}_{\alpha}~\in~ \mathbb{R}^3, \tag{4}$$ где$\vec{n}_{\alpha}\in\mathbb{R}^3$- единичный вектор, параллельный оси вращения,$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{\alpha}=1$; и$\alpha\in \mathbb{R}$(без стрелки сверху) - угол поворота.

   Формула матрицы вращения в терминах$\vec{\alpha}$читает

   $$\begin{align} R(\vec{\alpha}) ~=~&e^{i \vec{\alpha}\cdot \vec{L}}\cr ~=~& {\bf 1}_{3\times 3} - (1-\cos\alpha) (\vec{n}_{\alpha}\cdot \vec{L})^2 + i\sin\alpha ~\vec{n}_{\alpha}\cdot \vec{L}.\end{align} \tag{5}$$

3. Композиция из двух вращений снова является вращением

   $$R(\vec{\gamma})~=~R(\vec{\alpha})R(\vec{\beta}).\tag{6}$$ Если ввести сокращенную запись $$c_{\alpha} ~:=~\cos\frac{\alpha}{2} ~\in~ \mathbb{R},\tag{7}$$ $$\vec{s}_{\alpha}~:=~\vec{n}_{\alpha} \sin\frac{\alpha}{2} ~\in~ \mathbb{R}^3,\tag{8}$$ $$\vec{t}_{\alpha}~:=~\vec{n}_{\alpha} \tan\frac{\alpha}{2} ~\in~ \mathbb{R}^3,\tag{9}$$ «формула сложения» для соответствующего$3$-векторы можно аккуратно записать как $$\vec{t}_{\gamma} ~=~\frac{\vec{t}_{\alpha}+\vec{t}_{\beta}-\vec{t}_{\alpha}\times\vec{t}_{\beta} }{1-\vec{t}_{\alpha}\cdot \vec{t}_{\beta}}.\tag{10}$$

4. Вывод уравнения (10) упрощается, если учесть тот факт, что$SU(2)\cong U(1,\mathbb{H})$это двойная обложка$SO(3)$. Ан$SU(2)$-матрица

   $$X(\vec{\alpha})~\in~ SU(2)~ \subseteq ~{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})\tag{11}$$ можно записать в терминах матриц Паули как $$\begin{align} X(\vec{\alpha}) ~=~&e^{i \vec{\alpha}\cdot \vec{\sigma}/2}\cr ~=~& c_{\alpha}{\bf 1}_{2\times 2} + i\vec{s}_{\alpha}\cdot \vec{\sigma}.\end{align} \tag{12}$$ Композиция из двух$SU(2)$-матрица задается той же формулой БЧХ $$X(\vec{\gamma})~=~X(\vec{\alpha})X(\vec{\beta}).\tag{13}$$

Использованная литература:

1. Г'т Хоофт, Введение в группы Ли в физике , конспекты лекций, глава 3. Файл в формате pdf доступен здесь .

2. S. Weigert, J. Phys. A30 (1997) 8739, arXiv:quant-ph/9710024 .

3. К. Энгё, О формуле BCH в so(3) , Bit Num. Мат. 41 (2001) 629 . (Подсказка: WetSavannaAnimal, он же Род Вэнс .)

4. Википедия .

Как$\mathrm{SO}(3)$является связной группой,$\exp(\mathsf{L}(\mathrm{SO}(3))) = \mathrm{SO}(3)$и, следовательно, это должно - теоретически - работать. Поработаем в фундаментальном представлении$\mathrm{SO}(3)$, то есть ортогональные матрицы 3x3.

Предположим, у вас есть ротация$B$действует первое и второе вращение$A$, результирующее вращение определяется выражением$AB \equiv C \in \mathrm{SO}(3)$. Кроме того, мы можем выразить$A$,$B$и$C$к$\exp(a)$,$\exp(b)$и$\exp(c)$для$a,b,c \in \mathsf{L}(\mathrm{SO}(3))$. Тогда у нас есть ¹

$$\exp(a) \exp(b) = AB = C = \exp(c) = \exp\left(a + b + \frac{1}{2}[a,b] + \frac{1}{12} [ a, [a,b]] - \frac{1}{12}[b,[a,b]]+ \ldots\right)\quad.$$

Теперь проблема с проверкой этого на примере состоит в том, что эти коммутаторы довольно уродливы. Я сделаю два примера:

Первый пример: Два вращения вокруг$x$ось

Брать$A$вращаться вокруг$(1,0,0)$к$\theta$и$B$вращаться вокруг одной оси на$\phi$. Тогда у нас есть

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

и аналогично для$B$. Ассоциированный$a$тогда просто:

$$a = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\theta \\ 0 & \theta & 0 \end{pmatrix}\quad$$

и снова аналогично для$b$с$\theta \to \phi$. Вы можете легко проверить, что$\exp(a)$дает вам действительно$A$. Теперь с тех пор$a$и$b$ездить, у нас есть$[a,b] = 0$и поэтому$c = a + b$- который

$$c = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\theta -\phi \\ 0 & \theta + \phi & 0 \end{pmatrix}\quad.$$

Это, вероятно, освещает лучше, чем$AB$что два оборота вокруг одной и той же оси эквивалентны одному обороту на сумму углов. Вы можете еще раз проверить это$\exp(c)$дает тебе$C$.

Второй пример: один оборот вокруг$y$, секунда о$x$.

Это сложнее, так как нам придется вычислять надоедливые коммутаторы. Таким образом, представленный здесь результат будет лишь приблизительным, а не точным.

Брать

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & 0 & \sin(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\phi) & 0 & \cos(\phi) \end{pmatrix} \quad .$$

Вы можете вычислить, что

$$AB = C = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & 0 & \sin(\phi) \\ \sin(\theta) \sin(\phi) & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \cos(\phi) \\ \sin(\phi)\cos(\theta) & \sin(\theta) & \cos(\phi)\cos(\theta) \end{pmatrix} \quad .$$

Аналогично предыдущему имеем

$$a = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\theta \\ 0 & \theta & 0 \end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \phi \\ 0 & 0 & 0 \\ -\phi & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad.$$

Теперь самое сложное - рассчитать

$$c = a + b + \frac{1}{2} [ a,b] + \frac{1}{12} [ a, [a,b]] - \frac{1}{12} [b,[a,b]] + \ldots$$

с такой точностью, что$\exp(c)$дает отдаленно ощутимые результаты. В этом я в основном потерпел неудачу, но вот что я получил:

$$\frac{1}{2} [ a,b] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -\theta\phi & 0 \\ \theta\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad,$$

что очень похоже на элемент базиса алгебры Ли, соответствующий вращению вокруг$z$оси, но, к сожалению, совсем не вписывается (что-то линейное в любой$a$или$b$было бы неплохо…). Затем я начал вычислять$[a,[a,b]]$и$[b,[a,b]]$и прибыл в

$$c \approx \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2}\theta\phi & \phi - \frac{1}{12} \theta^2 \phi \\ \frac{1}{2} \theta \phi & 0 & -\theta + \frac{1}{12} \theta\phi^2 \\ -\phi + \frac{1}{12} \theta^2 \phi & \theta - \frac{1}{12} \theta \phi^2 & 0 \end{pmatrix} \quad .$$

Здесь хорошо то, что это все еще антисимметричная матрица и, следовательно, (может быть) в$\mathsf{L}(\mathrm{SO}(3))$. Чтобы теперь сравнить это с чем-либо, мы должны аппроксимировать$C$. Вспомним выражение сверху. В первом приближении положу$\cos(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2$,$\sin(x) = x - \frac{1}{6} x^3$. тогда я получаю

$$C \approx \begin{pmatrix} 1 - \frac{\phi^2}{2} & 0 & \phi - \frac{\phi^3}{6} \\ \left(\theta - \frac{\theta^3}{6}\right) \left(\phi - \frac{\phi^3}{6}\right) & 1 - \frac{\theta^2}{2} & -\left(1-\frac{\phi^2}{2}\right)\left(\theta - \frac{\theta^3}{6}\right) \\ -\left(1-\frac{\theta^2}{2}\right)\left(\phi-\frac{\phi^3}{6}\right) & \theta - \frac{\theta^3}{6} & \left(1 - \frac{\theta^2}{2}\right)\left(\phi - \frac{\phi^3}{6}\right) \end{pmatrix} \quad ,$$

раскрывая скобки и отбрасывая все, что имеет четвертый порядок, я прихожу к

$$C \approx \begin{pmatrix} 1 - \frac{\phi^2}{2} & 0 & \phi - \frac{\phi^3}{6} \\ \theta\phi & 1 - \frac{\theta^2}{2} & -\theta + \frac{\phi^2\theta}{2} \\ -\phi + \frac{\theta^2\phi}{2} & \theta - \frac{\theta^3}{6} & \phi - \frac{\theta^2\phi}{2} \end{pmatrix}\quad.$$

Это выражение должно быть примерно равно

$$1_3 + c + \frac{1}{2} c^2 + \frac{1}{6} c^3 \quad,$$

что является расширением$\exp(c)$. Снова отбросив все четвертого порядка, мы придем к

$$\exp(c) \approx \begin{pmatrix} 1-\frac{\phi^2}{2} & 0 & \phi - \frac{\phi^3}{6} \\ \theta\phi & 1 - \frac{\theta^2}{2} & -\theta+\frac{\theta^3}{6} +\frac{\theta\phi^2}{2}\\ -\phi +\frac{\theta^2 \phi}{2} & \theta - \frac{\theta^3}{6} & 1 - \frac{\theta^2}{2} - \frac{\phi^2}{2} \end{pmatrix} \quad .$$

Остальные «неправильные» термины здесь, скорее всего, сокращаются с более высокими порядками.$c$, но я должен признать, что я слишком ленив для этого.

Заключение

Основная проблема с формулой BCH заключается в том, что в общем случае$[a,b] \neq 0$и поэтому вы чаще всего даже не получаете точного выражения для$c$- из чего, скорее всего, можно было бы вывести угол и ось вращения, не оценивая эту надоедливую экспоненту. Без точного выражения для$c$, однако, все потеряно, так как неточные выражения просто полагаются на тот факт, что для бесконечно малых углов поворота все повороты коммутируют.

Однако я хотел бы услышать другие мнения, особенно в отношении «теоретической» части, что можно было бы сделать с$c$, если бы это было точно известно.