Почему образующие вращения в 4-мерном евклидовом пространстве соответствуют вращениям на плоскости?

Означает ли это, что данное вращение в 4-мерном евклидовом пространстве не может быть связано с единственной осью ($\hat{\textbf{n}}$) вращения? Если да, то почему это так?

Да, это абсолютно верно. Понятие одномерной оси — это «случайность» трех измерений. Вращения преобразуют плоские (размерность 2) линейные подпространства евклидова пространства, поэтому для задания поворота необходимо указать преобразованную плоскость и угол поворота.

В трехмерных измерениях мы можем немного схитрить: плоскость однозначно определяется единичным вектором нормали, а угол поворота можно закодировать как длину этого вектора. Это то, что мы подразумеваем под осью. Ось — непреобразованное пространство вращения; трехмерное пространство распадается на два ортогональных, инвариантных пространства, первое из которых является плоскостью вращения, которая является инвариантной, но преобразованной ( т . е . нетривиально биективно отображается на себя), а второе — осью, которая является одновременно инвариантной и непреобразованной. В 4-х и более измерениях инвариантные пространства имеют 2-х и более измерения.

Членом алгебры Ли группы вращений (с алгеброй, записанной как точное матричное представление) является кососимметричная матрица, т . е . сущность вида$\sum\limits_i X_i \wedge Y_i$где$X_i$а также$Y_i$являются одномерными векторами в евклидовом пространстве. Тогда общая матрица вращения имеет вид$\exp\left(\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\right)$. В 4-м и более высоких измерениях все усложняется; самое общее, что можно сказать, это то, что общее собственное ортогональное преобразование на$N$размерное пространство можно разложить как$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$где каждый из$R_i$- это вращение, которое биективно преобразует плоскость в себя и оставляет инвариантным дополнение плоскости. Однако самолеты для каждого из$R_i$в целом не являются одной и той же плоскостью.

Дополнительные вопросы и полезные свойства вращения

Пользователь Джон Дворак отмечает:

я бы подумал, что$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$всегда будет попарно ортогонален. Разве это не так?

Это действительно абсолютно верно, и стоит набросать доказательство, чтобы лучше понять вращение в более высоком измерении.

Пусть наша матрица вращения будет$R=\exp(H)$с$H=\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\in \mathfrak{so}(N)$как указано выше. Тогда существует другое ортогональное преобразование$\tilde{R}$( т.е. $\tilde{R}\in \mathrm{SO}(N)$), который посредством преобразования подобия уменьшает кососимметричный$H\in \mathfrak{so}(N)$блокировать диагональную форму:

где каждый из блоков имеет вид:

с$\theta_j\in\mathbb{R}$угол поворота и что, если$N$странно, есть еще$1\times1$нулевой блок остался.

Поэтому, если положить:

тогда$R_j=\exp(H_j)$с$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$затем легко увидеть, что они составляют разложение со свойствами, которые утверждает Джон, а именно:

1. The $R_j$являются каждым вращением, каждое из которых преобразует только одну плоскость, и каждое также имеет размерность$N-2$инвариантное и непреобразованное пространство (аналог «оси»);
2. Самолеты, преобразованные$R_j$взаимно ортогональны, и действительно, плоскости, натянутые единичными векторами$\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j}$а также$\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j+1}$, где$\hat{e}_j$являются ортонормированным базисом, в котором все обсуждаемые операторы имеют матрицы, как написано выше;
3. (как следствие 2.)$R_j$взаимно коммутируют.

Таким образом, мы можем легко увидеть, что:

1. Если размер$N$нечетно, всегда существует инвариантное непреобразованное пространство размерности 1, соответствующее упомянутому выше одномерному нулевому блоку, а также инвариантным пространствам, описанным ниже;
2. Если размерность четная, непреобразованное пространство нетривиального правильного ортогонального преобразования может быть любой из размерностей$0,\,2,\,4,\,\cdots N-2$. Инвариантные пространства имеют размерность$0,\,2,\,4,\,\cdots,\,N$

Это разложение относится к одному конкретному оператору вращения, и его не следует путать с понятием канонических координат второго рода (см. главу 1, предложение 3.3 В. В. Горбацевича, Е. Б. Винберг, "Группы Ли и алгебры Ли I: основы Теория лжи и группы преобразования лжи», Springer, 2013), которые представляют собой обобщенное понятие углов Эйлера . Здесь набор из$H_j\in\mathfrak{so}(N)$за$j=1,\,\cdots,\,N$(обратите внимание, сейчас есть$N$из них не$N\,\mathrm{div}\,2$из них) выбирается за основу , т.е.$\mathfrak{so}(N)$. Верны следующие утверждения:

1. Набор$\mathbf{G}=\left\{\left.\prod\limits_{j=1}^N\,\exp(\theta_j\,H_j)\,\right|\,\theta_j\in\mathbb{R}\right\}$содержит окрестность единицы в$\mathrm{SO}(N)$;
2. Если, далее,$H_j$ортогональны относительно формы Киллинга$\langle X,\,Y\rangle=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(X)\,\mathrm{ad}(Y))$, то множество$\mathbf{G}$выше это весь$\mathrm{SO}(N)$.

Свойство 1, как показано в упомянутой выше ссылке Горбацевича и Винберга, является общим и фундаментальным свойством всех групп Ли (если заменить$\mathfrak{so}(N)$групповой алгеброй Ли и$\mathrm{SO}(N)$по группе); свойство 2 справедливо только для компактных полупростых.

Если преобразование подобия, которое я здесь извлек из воздуха, кажется загадочным, читатели могут быть более знакомы с переупорядоченной версией преобразования подобия.$\tilde{R}$выше, где мы разлагаем кососимметричную замкнутую 2-форму$\omega$в случае четной размерности так, что его матрица$\Omega$является:

что мы неявно делаем всякий раз, когда помечаем симплектическое пространство (в общем случае неуникальными) «каноническими координатами», так что$\omega$то имеет матрицу:

Здесь мы имеем другое использование слова «канонический», на этот раз используемое в гамильтоновой механике. Слово «канонический» действительно нуждается в хорошей пенсии, поскольку оно так усердно работало в физике!

Это просто потому, что 3-2 = 1, а 4-2 = 2. Вращение состоит в обмене двумя осями. Поскольку оно включает в себя два измерения, оно происходит на плоскости, и остается n-2 измерения. В одномерном пространстве недостаточно измерений для поворота (если только вы не рассматриваете переворот пространства как поворот). В двухмерном пространстве все измерения участвуют во вращении (хотя начало координат является фиксированной точкой). В трехмерном пространстве остается одно измерение, и это измерение можно рассматривать как ось, и мы можем представлять повороты в трехмерном пространстве с помощью трехмерных векторов. В то время как знак является произвольным (правило правой руки является соглашением, а не неотъемлемым свойством трехмерного пространства), линия, вдоль которой лежит вектор, таковой не является. В четырехмерном пространстве, осталось два измерения, поэтому фиксированные точки вращения являются плоскостью, и выбор направления для представления вращения был бы произвольным. (Мы могли бы представить вращение среди индексов i,i+1 вектором в направлении i+2, но это потребовало бы произвольного порядка измерений. Также обратите внимание, что если у нас есть вращение среди непоследовательных индексов, таких как 1 и 3 , который может состоять из чередования последовательных индексов, в данном случае 1,2 и 2,3.)