Различные формулы для SO(3)SO(3)\rm SO(3) вращений

Ваше рассуждение верно. Углы Эйлера не являются компонентами$\vec{\theta}$. Вот что$\vec{\theta}$является.

Позволять$\vec{\theta}=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)=\theta \hat{n}$. Давайте выведем матрицу 3x3 (то есть: элементы группы$R(\vec{\theta})$) для поворота объекта на$\theta$радианы относительно произвольного направления, заданного единичным вектором$\hat{n}$. Это означает, что поместите большой палец правой руки вдоль единичного вектора.$\hat{n}$и поверните объект, надавливая пальцами правой руки на угол$\theta$. Для меня это гораздо более простой способ параметризации и визуализации произвольного поворота, чем углы Эйлера. Уведомление$\theta=\sqrt{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}$.

Как вы говорите в своем вопросе, элемент группы$R(\vec{\theta})=e^{i\vec{\theta}\cdot \vec{J}}$. Это вращает любой объект, который включает в себя векторы с любым количеством компонентов (например, стрелу, камень, тензор или частицы с разными спинами). Мы хотим повернуть 3-вектор, поэтому мы вставляем матричное представление 3x3 каждого из 3-х генераторов.$\vec{J}=(J_1,J_2,J_3)$.

$$\begin{align} \Theta & =i\vec{\theta}\cdot \vec{J} \\ & = i\theta_1\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \\ \end{bmatrix} +i\theta_2\begin{bmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} +i\theta_3\begin{bmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & -\theta_3 & \theta_2 \\ \theta_3 & 0 & -\theta_1 \\ -\theta_2 & \theta_1 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{align}$$ Заметить, что$[J_1,J_2]=iJ_3$что верно для генераторов вращения (=угловой момент).

Наконец, мы расширяем$e^{\Theta}$в степенном ряду и матричном умножении$\Theta$вместе, чтобы вычислить каждый член. Ты найдешь$\Theta^3=-\theta^2\Theta$.

$$\begin{align} R(\Theta) & =e^{\Theta} \\ & =I+\Theta+\dfrac{\Theta^2}{2!}+ \dfrac{\Theta^3}{3!}+ \dfrac{\Theta^4}{4!} +… \\ & =I+\Theta(1-\frac{\theta^2}{3!}+\frac{\theta^4}{5!}-...)+\Theta^2(\frac{1}{2!}-\frac{\theta^2}{4!}+\frac{\theta^4}{6!}-...) \\ \\ R(\Theta) & =I+ \frac{\Theta}{\theta}sin(\theta)+\frac{\Theta^2}{\theta^2}(1-cos(\theta)) \end{align}$$ Этот$R(\Theta)$- матрица вращения любого трехмерного вектора вокруг произвольного единичного вектора.$\hat{n}$по углу$\theta$. В качестве примера предположим$\hat{n}=(0,0,1)$, что представляет собой вращение вокруг оси Z на тета. Тогда окончательное уравнение для$R$дает знакомую матрицу вращения $$R(\Theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ Обратите внимание, что мой$sin(\theta)$знак противоположен вашему, потому что я выполняю активное преобразование объекта, тогда как ваша формула предназначена для пассивного преобразования на оси координат (т.е.:$\vec{\theta}_{passive}=-\vec{\theta}_{active}$).

возьмите ряд Тейлора для этой матрицы вращения:

$$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \theta_{{1}} \right) &-\sin \left( \theta_{{1}} \right) \\ 0&\sin \left( \theta_{{1}} \right) &\cos \left( \theta_{{1}} \right) \end {array} \right]$$

вы получаете

$$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} (1)&0&0\\ 0&(1-{\frac {1 }{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{\theta_{{1}}}^{4}+O \left( { \theta_{{1}}}^{6} \right) )&(-\theta_{{1}}+{\frac {1}{6}}{\theta_{{1}} }^{3}-{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\\ 0&(\theta_{{1}}-{\frac {1}{6}}{\theta_{ {1}}}^{3}+{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{ 6} \right) )&(1-{\frac {1}{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{ \theta_{{1}}}^{4}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\end {array} \right] \tag 1$$

матрица вращения$R_x$это также

$$R_x=\text{exp}(i\,\theta_1\tau_1)$$

взять серию Тейлора

$$R_x=I_3+x+\frac 12 x\,x+\frac 16 x\,x\,x+\ldots$$

с$x=i\,\theta_1\,\tau_1$

и:

$$\tau_1=-i\,\left[ \begin {array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1 \\ 0&-1&0\end {array} \right]$$

таким образом:

$$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} (1)&0&0\\ 0&(1-{\frac {1 }{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{\theta_{{1}}}^{4}+O \left( { \theta_{{1}}}^{6} \right) )&(-\theta_{{1}}+{\frac {1}{6}}{\theta_{{1}} }^{3}-{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\\ 0&(\theta_{{1}}-{\frac {1}{6}}{\theta_{ {1}}}^{3}+{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{ 6} \right) )&(1-{\frac {1}{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{ \theta_{{1}}}^{4}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\end {array} \right] \tag 2$$

аналог матрицы вращения$R_y~$и$R_z$

матрица вращения твердого тела теперь:

$$R_x(\theta_1)\,R_y(\theta_2)\,R_z(\theta_3)\mapsto \text{e}^{(i\,\theta_1\,\tau_1)}\,\text{e}^{(i\,\theta_2\,\tau_2)}\,\text{e}^{(i\,\theta_3\,\tau_3)}$$

с:

$$\tau_2= -i\,\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}~,\tau_3=-i\,\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$