Является ли определение (Kl)mn=ϵlmn(Kl)mn=ϵlmn\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=\epsilon_{lmn} для генераторов SO(3)SO( 3) ТАК (3) в Misner, Thorne и Wheeler правильно?

Примечание. Я не считаю, что это просто вопрос соглашения относительно того, что считается положительным углом, ручностью координат или порядком умножения матриц для векторных операций. Все они являются стандартными в других частях MTW.

Мой вопрос: правильно ли мое измененное определение. Или это верно от MTW?

В упражнении 9.13 книги «Гравитация» Мизнера, Торна и Уилера определение компонентов образующих матриц группы вращения дается как$\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=\epsilon_{lmn},$где$\epsilon_{lmn}$является символом Леви-Чивиты. Это кажется неправильным. Я предлагаю, чтобы определение было$\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=-\epsilon_{lmn}$

Если только мой разум не обманывает меня, определение, данное MTW, приводит к

$$\mathcal{K}_{1}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{K}_{2}=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{K}_{3}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Нечто, называемое сложной структурой$\mathbb{R}^2$вводится в «Современной дифференциальной геометрии кривых и поверхностей с Mathematica», третье издание, Альфредом Греем, Эльзой Аббена, Саймоном Саламоном . Это определяется как$\mathcal{J}\left(p_1,p_2\right)=\left(-p_2,p_1\right),$который представляет собой вращение на$\pi/2$. Его матрица$\mathcal{J}$и их целые числовые степени равны

$$\mathcal{J}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{J}^{2}=-\mathcal{I};\mathcal{J}^{3}=-\mathcal{J};\mathcal{J}^{4}=\mathcal{I}=\mathcal{J}^{0}.$$

Повышение$e$в степень матрицы определяется как формально идентичное разложению в ряд Тейлора$e^{x}.$Итак, если наша матрица$\theta\mathfrak{m},$где$\theta$является скаляром, мы имеем

$$e^{\theta\mathfrak{m}}=\theta^{0}\mathfrak{m}^{0}+\theta\mathfrak{m}+\frac{\theta^{2}}{2}\mathfrak{m}^{2}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\theta^{n}}{n!}\mathfrak{m}^{n}.$$

Знакомое разложение комплексной экспоненциальной функции в ряд Тейлора:

$$e^{\theta\text{i}}=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathrm{i}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right) =\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$$

Сопоставляя условия, мы видим, что

$$\begin{aligned} e^{\mathcal{J}\theta}&=\mathcal{I}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathcal{J}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right)\\ &=\mathcal{I}\cos\theta+\mathcal{J}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cos\theta+\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, \end{aligned}$$

который представляет собой вращение в евклидовой плоскости на$\theta$.

Как видно на снимке экрана ниже, подматрицы$\mathcal{K}_l$состоит из ненулевых строк и столбцов, а степени этих подматриц равны матрице$\pm\mathcal{J},$и его полномочия.

Упражнение дает определение

$$\mathcal{R}_{x}\left(\theta\right)\equiv\exp\left(\mathcal{K}_{1}\theta\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\theta^{n}}{n!}\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{n},$$

и просит нас показать, что это матрица вращения, которая производит вращение на$\theta$о$x$-ось. И аналогично для$y$- и$z$-оси.

Для упрощения мы определяем

$$\mathcal{I}_{1}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Таким образом, у нас есть

$$\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{0}=\mathcal{I};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{1}=\mathcal{K}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{2}=-\mathcal{I}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{3}=-\mathcal{K}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{4}=\mathcal{I}_{1}.$$

Использование их для расширения нашей экспоненциальной дает

$$\begin{aligned} \exp\left(\mathcal{K}_{1}\theta\right)&=\mathcal{I}-\mathcal{I}_{1}+\mathcal{I}_{1}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathcal{K}_{1}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right)\\ &=\mathcal{I}-\mathcal{I}_{1}+\mathcal{I}_{1}\cos\theta+\mathcal{K}_{1}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & 0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}.$$

Но это вращение вокруг$x$-ось по$-\theta.$Две другие матрицы также производят вращения на$-\theta.$

$$\exp\left(\mathcal{K}_{2}\theta\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 0 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}\\ \exp\left(\mathcal{K}_{3}\theta\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} .$$