Генератор матрицы вращения

Question

Генератор матрицы вращения

пользователь135580

Т (ф) "=" [\begin{matrix} потому что (θ) & грех (θ) & 0 \\ грех (θ) потому что (ф) & - потому что (θ) потому что (ф) & грех (ф) \\ грех (θ) грех (ф) & - потому что (θ) грех (ф) & - потому что (ф) \end{matrix}]

$T(\phi)= \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta)\cos(\phi) & -\cos(\theta)\cos(\phi) & \sin(\phi)\\ \sin(\theta)\sin(\phi) & -\cos(\theta)\sin(\phi) &-\cos(\phi) \end{bmatrix}$

Здесь матрица $T$ параметризуется $\phi$ и $\theta$ = некоторый постоянный угол. Можно ли найти образующие этого ортогонального преобразования, параметризованного углом $\phi$ ? Если мой подход неверен, как мне найти образующие этой матрицы и возвести ее в степень?

Я вывел бесконечно малое преобразование, которое приводит к

Т (дельта ф) "=" [я + т дельта ф]

$T(\delta\phi)=\bigg[I+t\delta\phi\bigg]$ где

t

$t$ является,

т "=" [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ грех (θ) & - потому что (θ) & 0 \end{matrix}] .

$t= \begin{bmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \sin(\theta) & -\cos(\theta) &0 \end{bmatrix}.$

Здесь $\theta$ какой-то фиксированный угол, скажем $120$ градусов или $69$ градусов или что-то еще, но остается постоянным. Могу ли я возвести эту матрицу в степень, чтобы получить

е^{- \hat{т} ф}

$e^{-\hat{t}\phi}$ Это правильно? Где я ошибаюсь, если я совершенно не прав?

Изменить: если $\theta$ является фиксированной константой, я никак не мог бы получить элемент идентификатора, так что, если $T$ параметризуется обоими $\theta$ и $\phi$ ? Я обязательно получу элемент идентификации. Теперь, как мне двигаться дальше?

Эмилио Писанти

Это неправильно, начиная с члена нулевого порядка. Если вы установите

ϕ = 0

$\phi=0$ вы не получаете личность, в отличие от личности, которую вы написали.

Джон Алексиу

[Примечание по форматированию] Используйте \sinи \cosв математических выражениях. Выглядит лучше, особенно когда триггерные функции умножаются.

A s i n (ω t)

$A sin(\omega t)$ против.

A \sin (ω t)

$A \sin(\omega t)$ .

пользователь135580

@EmilioPisanty Я отредактировал вопрос, так как один параметр не приводит меня к элементу идентификации, и я предполагаю

T

$T$ иметь два параметра

Джейкоб1729

Это не самая общая параметризация поворота — вы не можете параметризовать поворот только с двумя углами.

Космас Захос

Перепараметрировать по

Φ \equiv π - ϕ

$\Phi\equiv \pi-\phi$ . Происхождение (идентичность) тогда находится в

θ = Φ = 0

$\theta=\Phi=0$ . Приступайте к улучшенной параметризации.

Эмилио Писанти

@Cosmas Ты хочешь сказать, что если я поставлю

S (θ, φ) = T (θ, π - φ)

$S(\theta,\varphi) = T(\theta, \pi-\varphi)$ , и

J_{θ} = i \partial S / \partial θ

$J_\theta = i\partial S/\partial \theta$ ,

J_{φ} = i \partial S / \partial φ

$J_\varphi= i\partial S/\partial \varphi$ , затем

S (θ, φ) = \exp (- i (J_{θ} θ + J_{φ} φ))

$S(\theta,\varphi) = \exp(-i(J_\theta\theta + J_\varphi\varphi))$ ? Кажется, это то, о чем думает ОП, и результат кажется мне ложным.

Эмилио Писанти

@CosmasZachos Результат кажется мне ложным. Я согласен, что при вашей параметризации производные вдоль

θ

$\theta$ и

φ

$\varphi$ действительно

L_{x}

$L_x$ и

L_{z}

$L_z$ , но матрица вроде не совпадает с полной

\exp (i (L_{x} θ + L_{z} φ))

$\exp(i(L_x\theta+L_z \varphi))$ экспоненциальный. Мне кажется, что две параметризации касаются этих двух направлений в начале координат, но выражение OP недостаточно «прямолинейно» в правильном смысле, чтобы совпадать с экспоненциальным.

Эмилио Писанти

По крайней мере, если вы посмотрите на это с первого взгляда, то экспоненциальная форма будет означать, что ось вращения лежит вдоль

x, z

$x,z$ самолет. Однако эта ось вращения может быть получена явно как

(\cot (θ / 2) \tan (φ / 2), \tan (φ / 2), 1)

$(\cot(\theta/2)\tan(\varphi/2), \tan(\varphi/2), 1)$ (ненормализованный) через символ Mathematica Eigensystem. Это снова указывает на то, что матрица не имеет экспоненциальной формы.

Космас Захос

@Emilio До знаков и условностей,

\exp (- Φ L_{x}) \exp (- θ L_{z})

$\exp (-\Phi L_x) \exp (-\theta L_z)$ выглядит нормально, и, конечно, он сочиняет BCH для ...

Эмилио Писанти

... совершенно другое выражение, включающее

L_{y}

$L_y$ в экспоненте, конечно. Я согласен с тем, что цепочка экспонент верна и полезна, но я совершенно не согласен с тем, что здесь уместно говорить о матрице как о «порожденной»

L_{x}

$L_x$ и

L_{z}

$L_z$ .

Космас Захос

@ Эмилио, действительно, я игнорировал большие углы, поэтому конечные повороты создают

L_{y}

$L_y$ компонент, если вас это беспокоит -- мой первый ответ на ваш первый вопрос был бойким. Но относительно просто составить два конечных вращения вокруг перпендикулярных осей, если это действительно то, о чем просил ОП...

Ответы (2)

Генератор матрицы вращения

Это неправильно, начиная с члена нулевого порядка. Если вы установите $\phi=0$ вы не получаете личность, в отличие от личности, которую вы написали.
[Примечание по форматированию] Используйте \sinи \cosв математических выражениях. Выглядит лучше, особенно когда триггерные функции умножаются. $A sin(\omega t)$ против. $A \sin(\omega t)$ .
@EmilioPisanty Я отредактировал вопрос, так как один параметр не приводит меня к элементу идентификации, и я предполагаю $T$ иметь два параметра
Это не самая общая параметризация поворота — вы не можете параметризовать поворот только с двумя углами.
Перепараметрировать по $\Phi\equiv \pi-\phi$ . Происхождение (идентичность) тогда находится в $\theta=\Phi=0$ . Приступайте к улучшенной параметризации.
@Cosmas Ты хочешь сказать, что если я поставлю $S(\theta,\varphi) = T(\theta, \pi-\varphi)$ , и $J_\theta = i\partial S/\partial \theta$ , $J_\varphi= i\partial S/\partial \varphi$ , затем $S(\theta,\varphi) = \exp(-i(J_\theta\theta + J_\varphi\varphi))$ ? Кажется, это то, о чем думает ОП, и результат кажется мне ложным.
@CosmasZachos Результат кажется мне ложным. Я согласен, что при вашей параметризации производные вдоль $\theta$ и $\varphi$ действительно $L_x$ и $L_z$ , но матрица вроде не совпадает с полной $\exp(i(L_x\theta+L_z \varphi))$ экспоненциальный. Мне кажется, что две параметризации касаются этих двух направлений в начале координат, но выражение OP недостаточно «прямолинейно» в правильном смысле, чтобы совпадать с экспоненциальным.
По крайней мере, если вы посмотрите на это с первого взгляда, то экспоненциальная форма будет означать, что ось вращения лежит вдоль $x,z$ самолет. Однако эта ось вращения может быть получена явно как $(\cot(\theta/2)\tan(\varphi/2), \tan(\varphi/2), 1)$ (ненормализованный) через символ Mathematica Eigensystem. Это снова указывает на то, что матрица не имеет экспоненциальной формы.
@Emilio До знаков и условностей, $\exp (-\Phi L_x) \exp (-\theta L_z)$ выглядит нормально, и, конечно, он сочиняет BCH для ...
... совершенно другое выражение, включающее $L_y$ в экспоненте, конечно. Я согласен с тем, что цепочка экспонент верна и полезна, но я совершенно не согласен с тем, что здесь уместно говорить о матрице как о «порожденной» $L_x$ и $L_z$ .
@ Эмилио, действительно, я игнорировал большие углы, поэтому конечные повороты создают $L_y$ компонент, если вас это беспокоит -- мой первый ответ на ваш первый вопрос был бойким. Но относительно просто составить два конечных вращения вокруг перпендикулярных осей, если это действительно то, о чем просил ОП...

Космас Захос · Answer 1

Ваша ортогональная матрица

р (ф, θ) "=" [\begin{matrix} потому что (θ) & грех (θ) & 0 \\ грех (θ) потому что (ф) & - потому что (θ) потому что (ф) & грех (ф) \\ грех (θ) грех (ф) & - потому что (θ) грех (ф) & - потому что (ф) \end{matrix}]

$R(\phi,\theta)= \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta)\cos(\phi) & -\cos(\theta)\cos(\phi) & \sin(\phi)\\ \sin(\theta)\sin(\phi) & -\cos(\theta)\sin(\phi) &-\cos(\phi) \end{bmatrix}$ должны иметь антисимметричные образующие.

Чтобы найти их, вы должны расшириться вокруг источника, $\phi=\pi, \theta=0$ . Чтобы развеять путаницу, определите $\Phi\equiv = \pi-\phi$ , поэтому начало координат находится в $\Phi=\theta=0$ .

р (Φ, θ) "=" [\begin{matrix} потому что (θ) & грех (θ) & 0 \\ - грех (θ) потому что (Φ) & потому что (θ) потому что (Φ) & грех (Φ) \\ грех (θ) грех (Φ) & - потому что (θ) грех (Φ) & потому что (Φ) \end{matrix}]

$R(\Phi,\theta)= \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) & 0 \\ - \sin(\theta)\cos(\Phi) & \cos(\theta)\cos(\Phi) & \sin(\Phi)\\ \sin(\theta)\sin(\Phi) & -\cos(\theta)\sin(\Phi) &\cos(\Phi) \end{bmatrix}$

Оценивать $R(\delta\Phi, 0)=\bigg[I+t\delta\Phi\bigg]$ , так

т "=" [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}] .

$t= \begin{bmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & - 1 &0 \end{bmatrix}.$

Можете ли вы также оценить $R(0,\delta \theta)$ ?

Примечание добавлено в соответствии с комментариями.

Вышеупомянутая матрица вращения R тогда, в соглашениях WP , является всего лишь

е^{- Φ л_{Икс}} е^{- θ л_{г}},

$e^{-\Phi L_x} e^{-\theta L_z} ,$ которые вы можете сочинить BCH ,

опыт (- Φ л_{Икс} - θ л_{г} + Φ θ [л_{Икс}, л_{г}] / 2 + . . .),

$\exp (-\Phi L_x -\theta L_z+ \Phi \theta [L_x,L_z]/2+... ),$ или формула конечного вращения Гиббса и т. д., если вы так склонны. Для таких ортогональных осей, как ваша, формула Гиббса практически не работает: эффективная ось вращения как раз параллельна

\hat{z} \tan (θ / 2) + \hat{x} \tan (Φ / 2) + \hat{y} \tan (θ / 2) \tan (Φ / 2)

$\hat z \tan (\theta/2) +\hat x \tan (\Phi/2) +\hat y \tan (\theta/2) \tan (\Phi/2)$ ! (Вы видите, что это в точности инвариантный вектор R?)

В любом случае, процедура ограничения в начале координат, дающая генераторы из вашей конечной матрицы вращения, принесла в жертву информацию: убедите себя, что несколько различных матриц вращения могут иметь одинаковое поведение в начале координат, конечно, — подумайте об изменении порядка двух факторы выше; поэтому вам не следует ожидать воссоздания этой конкретной матрицы вращения из поведения касательного пространства в начале координат в целом. (Здесь вы уже заранее учитывали свои конечные вращения. То, что гарантирует 3-я теорема Ли, по сути является теоремой Эйлера: два составляющих вращения объединятся в одно вращение вокруг новой оси.)

Большое спасибо. Увидев ваши комментарии, я обнаружил одну вещь, что это $T$ матрица кажется продуктом $R_{x}(\pi - \phi) R_{z}(\theta)$ .
@CosmasZachos Однако экспонента произведения угловых моментов не является экспонентой суммы генераторов. Высказывание «эта матрица имеет антисимметричные образующие» подразумевает не только антисимметричность производных, но и то, что матрица равна экспоненте производных, что неверно.
@Emilio Формула композиции BCH даст выражение в алгебре Ли бесследовых антисимметричных матриц, которое для малых углов будет главным членом в расширении BCH. Я не уверен, что запрашивалась ось вращения ... но закон композиции SO (3) может легко дать ее для перпендикулярных осей компонентов.
@Cosmas Это в конечном итоге зависит от OP, чтобы расставить приоритеты, учитывая, что результат, которого они изначально хотели, невозможен, но здесь я считаю важным, чтобы мы были предельно ясны в отношении того, что имеет место, а что нет.
@ Эмилио ... Я никогда не понимал, что ОП спрашивает, является ли логарифм этой матрицы вращения линейным по 𝜃 и Φ. Мы полностью согласны, что это не так! Если он хочет вывести эффективную ось вращения, это просто, но также и тривиально, если искать единичный вектор этой матрицы.
@Cosmas Я не знаю, как читать «как мне найти генераторы этой матрицы и возвести ее в степень?» кроме запроса логарифма той матрицы, но я согласен, это не особо понятно.

Эмилио Писанти · Answer 2

Параметризация, которую вы дали, просто не имеет экспоненциальной формы, которую вы ищете.

Матрица, которую вы записали, параметризуется расположением $x$ ось после поворота, которая имеет полярный угол $\theta$ и азимутальный угол $\phi$ в полярных сферических координатах, проведенных вокруг старого $x$ ось. Это не поворот на угол $\phi$ вокруг оси под углом $\theta$ , и это не поворот на угол $\theta$ вокруг какой-либо чистой оси и не является комбинацией поворотов на углы $\theta$ и $\phi$ . Его, конечно, можно выразить как поворот на определенный угол вокруг определенной оси, но этот угол не является ни $\theta$ ни $\phi$ .

Таким образом, нет полезного способа найти разложение низкого порядка с точки зрения $\theta$ или $\phi$ даст вам полезный генератор, который воссоздаст вашу матрицу при возведении в степень.

Генератор матрицы вращения

пользователь135580

Эмилио Писанти

Джон Алексиу

пользователь135580

Джейкоб1729

Космас Захос

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Космас Захос

Эмилио Писанти

Космас Захос

Ответы (2)

Космас Захос

пользователь135580

Эмилио Писанти

Космас Захос

Эмилио Писанти

Космас Захос

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Почему образующие вращения в 4-мерном евклидовом пространстве соответствуют вращениям на плоскости?

Коэффициенты связи в SO(4)

Скобка Ли для алгебры Ли SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Что представляют собой антисимметричные матрицы JiJiJ_i в классической механике?

Бесконечномерные представления SO(3)SO(3)\text{SO}(3)

Представление su(2)su(2)su(2) алгебры Ли на торе

Единая последовательность лестницы углового момента в квантовой механике? -- Почему есть только

Различные формулы для SO(3)SO(3)\rm SO(3) вращений

Является ли определение (Kl)mn=ϵlmn(Kl)mn=ϵlmn\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=\epsilon_{lmn} для генераторов SO(3)SO( 3) ТАК (3) в Misner, Thorne и Wheeler правильно?

Одномерная кольцевая геометрия - Группа переводов