Электрическое поле в космосе, создаваемое пересечением заряженных сфер [закрыто]

Я пытаюсь рассчитать электрическое поле в пространстве, создаваемое телом, собранным в результате пересечения двух сфер. Верхняя сфера, ее центр находится в

г 2 г ^
с радиусом р а вторая сосредоточена в
− г 2 г ^
с радиусом р . Область пересечения нейтральна, а верхняя область заряжена постоянной плотностью. р а нижняя область заряжена плотностью − р .

Я рассчитал объем области пересечения,

В "=" π 12 ( 16 р 3 − 4 р 2 г − г 3 )
, что имеет смысл, потому что если
г → 0
(сферы совпадают) тогда
В ≈ π 12 ⋅ 16 р 3 "=" 4 π р 3 3
что является объемом одной сферы.

Затем я рассматривал заряд каждой сферы как суперпозицию всей сферы, заряженной р (или − р соответственно) и область пересечения с противоположным зарядом.

Как и ожидалось, общий заряд нижней области противоположен общему заряду верхней области, т.е.

д 1 "=" р ⋅ 4 3 π ( р 2 г + г 3 4 ) , д 2 "=" − р ⋅ 4 3 π ( р 2 г + г 3 4 )
.

Затем я снова использовал суперпозицию, чтобы вычислить поле повсюду в пространстве:

  • Внутри области пересечения: я воспользовался формулой поля, создаваемого внутри заряженной сферы, и выяснил, что

    Е → я н ( п ) "=" к д 1 ( р → п − г 2 г ^ ) р 3 − к д 1 ( р → п + г 2 г ^ ) р 3 "=" − к д 1 г р 3 г ^ "=" − г р 12 ε 0 ( г р + г 3 4 р 3 ) г ^

  • Внутри верхней заряженной области: я использовал ту же формулу для поля внутри заряженной сферы, плюс тот факт, что поле, которое сфера индуцирует вне своей области, подобно точечному заряду. После подсчета у меня получилось

    Е → я н + ( п ) "=" г р 12 ε 0 ( г р + г 3 4 р 3 ) ( р → п − г 2 г ^ − р 3 р → п + г 2 г ^ | р → п + г 2 г ^ | 3 )
    .

  • Внутри нижней заряженной области: По тем же причинам, что и у меня:

    Е → я н − ( п ) "=" г р 12 ε 0 ( г р + г 3 4 р 3 ) ( р → п + г 2 г ^ − р 3 р → п − г 2 г ^ | р → п − г 2 г ^ | 3 )

  • Снаружи: я использую тот факт, что обе сферы действуют как точечный заряд, и получил:

    р 12 ε 0 ( р 2 г + г 3 4 ) ( р → п − г 2 г ^ | р → п − г 2 г ^ | 3 − р → п + г 2 г ^ | р → п + г 2 г ^ | 3 )

Мой вопрос, это нормально?

Кроме того, я должен написать выражение для поля вне тела в пределе, когда р >> г , но я не могу интуитивно понять результат, который я должен получить.

Physics Stack Exchange — это не помощь в выполнении домашних заданий на сайте с моими вопросами; но, если вам нужна такая помощь, вы можете посмотреть в этой ветке список бесплатных онлайн-ресурсов для помощи с домашними заданиями .

Ответы (1)

Во-первых, когда вы нашли свой том, похоже, вы пропустили знак. В моей последней интеграции над ф , Я имел

4 π 3 ∫ 0 ф г ф р 3 грех ⁡ ф − г 3 грех ⁡ ф 8 потому что 3 ⁡ ф ⇒
4 π 3 [ − р 3 потому что ⁡ ф − г 3 16 потому что 2 ⁡ ф ] 0 потому что ⁡ ф "=" г 2 р .
Если вы поменяете знак на втором члене, похоже, что ответ, который вы получили, выскочит наружу.

Во-вторых, вы на самом деле очень усложнили себе задачу, немного неправильно использовав принцип суперпозиции. Если вы наложите две противоположные плотности заряда друг на друга, электрические поля, создаваемые ими, естественным образом нейтрализуются, и это создаст ситуацию, эквивалентную отсутствию заряда в этой области.

Проблема в вашем выводе заключается в том, что вы смешиваете наложенные состояния и конечное состояние. Например, посмотрите на заряд, который вы вычисляете вне двух сфер. Вы используете формулу для электрического поля вне совершенно однородной сферы, Е → "=" д ϵ 0 р 2 . Но тогда вы берете д "=" р В и для В подключи объем заряда в финальной конфигурации с отсутствующим чанком. Однако электрическое поле сферы с отсутствующим куском не просто Е → "=" д ϵ 0 р 2 . С отсутствующим фрагментом вы полностью потеряли сферическую симметрию, которая позволила вам получить простое поле.

Чтобы рассчитать поле за пределами двух сфер, вы напрямую используете полный заряд на сферическом распределении. д "="   4 π р 3 р 3 вместо д "=" р 4 π 3 ( р 2 г + г 3 4 ) . Остаток твоего срока выглядит нормально. Если г достаточно мала и две сферы действительно перекрываются, то принцип суперпозиции гарантирует, что везде, где сферы перекрываются, электрическое поле от этих перекрывающихся частей полностью нейтрализуется, потому что они несут одинаковый и противоположный заряд. Он сам о себе позаботится, и вам не придется беспокоиться о том, чтобы вручную снять перекрывающийся заряд путем расчета объемов.

Тот же принцип справедлив для расчета электрического поля внутри сфер. На самом деле это намного проще, чем то, что вы написали.

Я не понял той части, которую вы сказали, что я должен использовать всю сферу для своего заряда, чтобы вычислить внешнее поле. Почему я должен использовать д "=" р 4 3 π р 3 ?
Две фигуры, которые вы хотите наложить друг на друга, — это положительная сфера на d/2 и отрицательная сфера на -d/2. В этих двух сферах нет отверстий. Чтобы найти поле и разные точки в этих двух ситуациях, вам нужно использовать полный заряд сферы. В окончательной конфигурации любая область, где обе сферы перекрываются, естественно не будет иметь заряда только из-за суперпозиции, поскольку р + − р "=" 0 . Вам не нужно делать ничего особенного, чтобы компенсировать перекрывающиеся участки.
Электрическое поле в космосе, создаваемое пересечением заряженных сфер [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v