Где ошибка в этом расчете потока? [закрыто]

Рассмотрим заряд,$q$, который излучает электрическое поле, заданное выражением

$$\mathbf{E}=\frac{kq}{r^2}\mathbf{u_r}.$$ Рассмотрим круговую петлю радиуса $R$и выбрать такую ​​систему координат, что центр $O$петли является началом координат, а ось вращения петли совпадает с осью x. заряд $q$находится на расстоянии $x$от $O$вдоль оси x, и мы хотели бы рассчитать электрический поток через площадь, ограниченную петлей.

Это кажется довольно простым расчетом: интегрировать поток по контуру с помощью интеграции оболочки. Бесконечно малый поток через кольцо толщиной$dr$и внутренний радиус$r$является

$$d\Phi=(2 \pi r dr)E(r)\sin(\theta)$$ где $\theta$- угол между полем и плоскостью петли, а $E(r)$- напряженность поля в точке петли на расстоянии $r$от центра.

По геометрии имеем$\sin(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}$. Также$E(r)=\frac{kq}{x^2+r^2}$.

Следовательно

$$d\Phi=\frac{\pi kqxr}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}.$$

Интегрируя по всем оболочкам (кольцам) как$r$колеблется между$0$и$R$, мы получаем

$$\Phi=\int_{o}^{R}d\Phi=\int_{o}^{R} \frac{\pi kqxr}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}dr.$$

Если я правильно вычислил интеграл, я получаю

$$\Phi=2\pi kq(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}})$$

Таким образом, поток стремится к нулю, когда$R$стремится к нулю (площадь становится меньше) и по мере$x$уходит в бесконечность (поле становится слабее), как и ожидалось. Единственная проблема, если$x=0$, приведенное выше выражение дает ненулевое значение потока, что не имеет смысла, поскольку поле является радиальным и, следовательно, если заряд помещен в центр петли, поток через петлю должен быть равен нулю.

Я не уверен, где я ошибся?