Электрическое поле однородно заряженного тетраэдра

Как рассчитать электрическое поле произвольного тетраэдра с равномерной плотностью заряда в произвольной точке?

введите описание изображения здесь

Я получил:

  • 4 вершины тетраэдра
  • общий заряд в кулонах
  • точка, в которой я хочу вычислить вектор поля E

Точка может быть снаружи или внутри тетраэдра. Плотность заряда однородна по объему тетраэдра (не по поверхности!).

РЕДАКТИРОВАТЬ

Это не домашнее задание. Я пишу программу моделирования для моделирования электрических полей вокруг и внутри объекта, определяемого его трехмерной сеткой. Поле для расчета состоит из всех протонов в объекте. Предполагается, что они равномерно распределены по всему объему. Представьте поле протонов только так, как если бы вы удалили все валентные электроны из металла, чтобы каждый атом имел заряд +1e. Я думал о том, чтобы разделить сетку на более мелкие фрагменты (тетраэдры) и добавить поля каждого тетраэдра в определенной точке.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2

Я придумал решение для части внутреннего поля, если известно уравнение внешнего поля. Идея состоит в том, чтобы проверить, находится ли точка, в которой мы хотим вычислить поле, внутри тетраэдра. Если это не так, то мы регулярно вычисляем поле, если оно внутри, то мы выбираем плоскость, содержащую одно ребро тетраэдра (или любые две вершины) и эту точку. Эта плоскость разделит тетраэдр на два меньших. Затем мы вычисляем и добавляем поля обоих из них. В этом случае точку можно считать находящейся вне каждого меньшего тетраэдра или лежащей на их поверхностях.

Это звучит как неприятная проблема. Расположение вершин произвольно? Точка наблюдения произвольная? Это может немного помочь узнать, почему вы хотите вычислить это.
Ответ, о котором я думаю, включает тройной интеграл. С переменными интегрирования внутри квадратного корня. Да и границы не такие большие. Я не хочу решать это прямо сейчас, извините.
Снаружи можно сделать многополюсное расширение. Если вы соблюдаете достаточный порядок (октополь и выше), вы можете получить хорошее приближение, даже удивительно близкое к заряду.

Ответы (1)

Спасибо за редактирование. Теперь, когда мы знаем, что вы делаете это численно, ситуация меняется.

Ваш подход в порядке. Разделите тетраэдр на небольшие элементы объема, рассчитайте поле для каждого и векторно сложите. Однако на самом деле нет необходимости делать подразделения, и они не должны быть крошечными тетраэдрами. Вместо этого вы можете перемещаться по трехмерной кубической сетке внутри объема тетраэдра. Я не уверен, но я думаю, что это было бы намного проще, чем пытаться разбить тетраэдр на более мелкие, если только у вас уже нет кода, который это делает.

Начните с относительно грубой сетки. Затем уменьшите его, скажем, в два раза, и сравните поле, созданное этими двумя расчетами. Если бы ваша сетка действительно была грубой, два ответа должны были бы неприятно различаться. Продолжайте делать сетку все тоньше и тоньше с каждым разом по сравнению с предыдущей сеткой. Когда результирующая сетка перестанет изменяться в пределах некоторого допустимого наклона, остановитесь. Ваша сетка достаточно хороша; продолжение не принесет дальнейшего выигрыша, но время вычислений увеличится.

Большое спасибо за ответ, но я думаю, что он не подойдет для моделирования в реальном времени. Еще одна проблема с этим подходом заключается в том, что сетка будет пропускать острые углы или пики, если мы не сделаем ее очень тонкой. Я нашел решение для линейного сегмента ( physicstasks.eu/659/charged-line-segment ), и я думаю, что можно получить решения для конечной поверхности и конечного объема, таких как тетраэдр, даже если это будет сложной задачей. Я просто не знаю, как начать или где искать.
Решение в закрытой форме, которое, вероятно, вам нужно для скорости, будет сложно придумать. Общий случай не позволяет использовать упрощающие симметрии и приближения. Другой вариант может состоять в том, чтобы настроить интегралы и найти быстро сходящиеся ряды для интегралов. Это может быть сложнее, чем найти решения в закрытой форме. (@AHusain's идея чем-то похожа на это, подумайте об этом серьезно). Вы можете попробовать составить полный интеграл и поискать идеи в хорошей таблице интегралов. Или попробуйте CAS (система компьютерной алгебры). Звучит как трудная проблема.
Спасибо. У меня есть еще одна идея. Можно ли вычислить электрические потенциалы в каждой вершине, а затем вывести из них поле? По крайней мере, я смогу предварительно вычислить их, потому что вершины фиксированы.
Да, но я пока не понимаю, что вы имеете в виду. У вас будет потенциал в каждой из четырех вершин. Что вы будете делать с этой информацией?
Я знаю, что можно вычислить вектор поля E в любой точке только с заданными потенциалами. Вопрос в том, дадут ли эти потенциалы хороший результат.
Да, но вам нужен потенциал в каждой точке пространства, а не только в вершинах.
Электрическое поле однородно заряженного тетраэдра
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v