Путаница с компонентом объема в законе Гаусса для цилиндра

В настоящее время я работаю над задачей, в которой мы используем закон Гаусса, чтобы найти электрическое поле внутри бесконечно длинной цилиндрической оболочки (внутренний радиус r, внешний радиус R) с плотностью заряда $\rho = \rho_0 \sqrt{\frac{r}{s}}$от r до R. Я совсем запутался, как правильно вычислить $Q_{encl}$(заряд прилагается) в правой части уравнения закона Гаусса. Вот где я нахожусь:

$$\int E \bullet da = \frac {Q_{encl}} {\epsilon_0}$$ $$E \int da = \frac {Q_{encl}} {\epsilon_0} = E (2\pi s l)$$ ( $2\pi s l$площадь поверхности цилиндра, в которой будет поток, так как через торцы потока нет.) $$Q_{encl}= ?$$ При интегрировании, чтобы найти заключенный заряд, я интегрирую от 0 до некоторого общего s, где $r<s<R$потому что нам нужен окончательный ответ как функция s.

Я пробовал следующее за приложенную плату:

1. $$Q_{encl}= \rho \bullet V_{cylinder}$$ $$= 2\pi l {\int \rho(s) ds}^2$$ (целый интеграл в квадрате), что дало: $$E = \frac {2{\rho_0}^2 a} {\epsilon_0}$$ По логике объем цилиндра равен $2\pi s^2 l$для некоторой длины l (даже если она бесконечна, выберите гауссову поверхность цилиндра длиной l - длина должна сократиться в конце), поэтому заключенный заряд равен $2 \pi l$и тогда $\int \rho (s) ds$квадрат заботится о $s^2$составляющая объема.

Я также пробовал:

2. $$Q_{encl} = \int \rho (s) d\tau$$ (определение $Q_{encl}$Я думаю?) $$Q_{encl} = \int \int \int \rho (s) s ds d\phi dz$$ $$Q_{encl} = \int \int \int \rho_0 a^{1/2} s^{-1/2} s ds d\phi dz$$ $$= \frac {4\pi l \rho_0 \sqrt{a} s^{3/2}}{3\epsilon_0}$$ Что дало:

$$E = \frac {2\rho_0} {3\epsilon_0} \sqrt{as}$$

1. Я пропустил s здесь в интеграле от $\rho (s)$поскольку в цилиндрических координатах ds-компонента $d\tau$это $s \bullet ds$? Разве я не должен был возводить интеграл в квадрат? Это не кажется правильным, потому что окончательный ответ не зависит от s.

2. Я не был уверен, что правильно проинтегрировал для $d\phi$и $dz$. 2 π $2\pi$Я считаю, что происходит от $d\phi$интегрирование, а затем выполняет $l$родом из $dz$интеграция? Это имеет логичный смысл, но я не уверен, как показать это явно в моей интеграции.

Какой метод правильный, если любой? Я упустил что-то, что использует r и R, или не имеет значения, что это полый цилиндр, учитывая, что меня беспокоит только область между r и R? Как/где я могу включить это? Кажется, что это должно иметь значение, потому что заключенный заряд был бы больше от 0 до некоторого общего s, если бы это был твердый цилиндр (вмещающий больший объем). Могу ли я просто интегрировать r в generic s? Я думаю, может быть, 1. и 2. дают тот же результат, если все сделано правильно (например, если я внес исправления, упомянутые в 1. чуть выше). Я думаю, что мой multivariable calc довольно ржавый - я действительно запутался в этом заключенном выражении заряда и хочу убедиться, что правильно его вычисляю.

Извините, если это глупый вопрос, и извините, что это такой длинный пост; Я хотел быть тщательным. Любая помощь или руководство приветствуется!