Электрическое поле вне конденсатора

Вне двух бесконечных параллельных пластин с противоположным зарядом электрическое поле равно нулю, и это можно доказать с помощью закона Гаусса, используя любую вообразимую гауссову поверхность. Однако это может быть чрезвычайно сложно показать, если вы не выберете поверхность Гаусса разумным образом.

Обычный способ показать, что электрическое поле вне бесконечного конденсатора с плоскими пластинами равно нулю, заключается в использовании факта (выведенного с использованием закона Гаусса), что электрическое поле над бесконечной пластиной, лежащей в$xy$-плоскость, например, задается

$$\vec{E}_1=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{k}$$ где $\sigma$- поверхностная плотность заряда пластины. Если теперь поставить другую тарелку с противоположным зарядом, т.е. $\sigma$, на некотором расстоянии ниже или выше первого, то это вносит свое собственное электрическое поле, $$\vec{E}_2=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{k}$$ в районе над ним. Поскольку электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции, суммарное электрическое поле над обеими пластинами равно нулю. То же самое происходит под обеими пластинами, а между пластинами электрическое поле постоянно и отлично от нуля.

Ваш способ сделать это немного сложнее, но снова дает тот же ответ. Например, если вы выберете гауссову поверхность, имеющую форму песочных часов с разными радиусами для двух сторон, то действительно включенный чистый заряд не равен нулю. Однако, когда вы вычисляете полный электрический поток через эту поверхность, вы должны быть осторожны, чтобы понять, что между двумя пластинами существует ненулевое электрическое поле, и, следовательно, существует ненулевой поток через часть гауссовой поверхности, которая лежит между пластинами. . Этот поток, конечно, нужно учитывать. Предполагая, что вы знаете электрическое поле внутри конденсатора,$\vec{E}_\text{inside}$, вы можете сделать интеграл$\oint\vec{E}_\text{inside}\cdot d\vec{A}$для такой гауссовой поверхности (на самом деле это не так сложно), и вы обнаружите, что поток через часть поверхности, которая лежит между пластинами, в точности равен$q_{\text{enclosed}}/\epsilon_0$. Таким образом, чистый поток через часть гауссовой поверхности, лежащую за пределами пластин, должен быть равен нулю, что доказывает, после небольшого размышления, что электрическое поле вне конденсатора равно нулю.

Окончательный ответ для$\vec{E}$никогда не зависит от используемой поверхности Гаусса, но всегда зависит от способа добраться до нее. Вот почему поверхность Гаусса должна быть выбрана с умом, т.е. таким образом, чтобы сделать расчет$\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}$легкий.

Вы можете выбрать такую ​​коробку. Однако сам по себе этот ящик не позволяет определить электрическое поле. Закон Гаусса гласит, что полный поток равен заключенному заряду, умноженному на$4\pi$. Он не говорит вам, где этот поток покидает коробку. Здесь может быть много, там ничего, отрицательная сумма на третьем месте и т. д.

В некоторых ситуациях симметрия позволяет нам использовать закон Гаусса для нахождения электрического поля. Ящик Гаусса, охватывающий обе пластины плоского конденсатора, симметричен относительно отражения через плоскость, проходящую через середину конденсатора. Он также симметричен относительно вращения вокруг оси, перпендикулярной пластинам (без учета краевых эффектов). Вращательная симметрия позволяет сказать, что электрическое поле сначала направлено вдоль оси, перпендикулярной пластинам. Симметрия отражения говорит нам, что электрическое поле должно быть одинаковым с обеих сторон коробки, параллельной пластинам. Это электрическое поле должно быть равно нулю, потому что в коробке нет суммарного заряда.

Коробка вокруг одной пластины не имеет одинаковых симметрий. Он по-прежнему имеет вращательную симметрию, поэтому электрическое поле должно быть перпендикулярно пластинам. Однако у нас больше нет симметрии отражения, поэтому напряженность электрического поля может быть разной на разных сторонах ящика.

Мы знаем, что через коробку должен быть чистый поток, потому что коробка заключает в себе чистый заряд. Используя тот факт, что электрическое поле равно нулю вне конденсатора, мы можем сделать вывод, что поток через коробку, которая окружает только одну пластину, проходит через всю сторону коробки, которая находится внутри конденсатора. Следовательно, электрическое поле должно быть$4\pi\rho$внутри конденсатора.

Предполагая, что у вас есть только два заряда и ни одного снаружи, у вас будет следующий потенциал напряжения$\phi$как показано на левом изображении, и$\mathrm{E}$интенсивность, как показано на правом изображении ниже.

Это просто решение уравнения Лапласа

$$\Delta \Phi = - \cfrac{\rho}{\epsilon}\, ,$$

с граничным условием двух поверхностных зарядов.

Бесконечная пластина - это единственный случай, когда у вас нет электрического поля вне конденсатора, предполагается ненулевой поверхностный заряд на пластинах и что обе плотности заряда имеют противоположное и одинаковое значение.

Ссылка на изображение:
Решение обобщенного уравнения Пуассона с использованием метода конечных разностей (FDM) — Научная фигура на ResearchGate. Доступно по адресу: https://www.researchgate.net/A-2D-parallel-plate-capacitor-The-top-plate-is-at-a-potential-of-1-0-V-while-the_fig5_228411289 [доступно 11 июля 2018 г.]

Вся посылка этого вопроса неверна. Никакое применение закона Гаусса не может доказать, что электрическое поле вне конденсатора равно нулю, потому что оно не обязательно равно нулю. Вот еще одна ситуация, удовлетворяющая закону Гаусса

-----> -     + ----->
-----> -     + ----->
-----> -     + ----->
-----> -     + ----->
-----> -     + ----->

Стрелки — это линии электрического поля, уходящие в бесконечность, а «+» и «-» — два однородных двумерных слоя заряда. Вы можете проверить, что закон Гаусса выполняется для каждой возможной поверхности Гаусса.

Когда люди говорят, что «электрическое поле равно нулю вне конденсатора», они предполагают, что нет никакой другой причины электрических полей, кроме самого конденсатора. В приведенном выше примере, если убрать «конденсатор», везде в пространстве будет однородное электрическое поле. Зачем там это поле? Кто знает, но точно не из-за конденсатора! Другими словами, речь идет об электрическом поле, создаваемом самим конденсатором.

Надлежащий анализ конденсатора ПРЕДПОЛАГАЕТ, что поле равно нулю на бесконечности, а затем использует различные поверхности Гаусса, чтобы доказать, что поле остается нулевым везде вне конденсатора.