Роль константы разделения при решении волнового уравнения для электромагнитных волн и волнового числа отсечки

Question

Роль константы разделения при решении волнового уравнения для электромагнитных волн и волнового числа отсечки

Эдвард

У меня есть следующее волновое уравнение, которое мне нужно решить с помощью разделения переменных:

\nabla^{2} Е + к^{2} Е "=" 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0$ Где E - электрическое поле, а k - волновое число.

Используя разделение переменных для каждого компонента:

Е_{я} (Икс, у, г) "=" ф (Икс) г (у) час (г), где я = х, у, z

$E_i(x,y,z) = f(x)g(y)h(z) \text{ , where i = x , y , z}$

Для одного компонента:

(ф_{Икс Икс}) (г) (час) + (ф) (г_{у у}) (час) + ({час}_{г г}) + к^{2} (ф г час) "=" 0

$(f_{xx})(g)(h) + (f)(g_{yy})(h) + (h_{zz}) + k^2(fgh) = 0$

или

ф_{Икс Икс} / ф + г_{у у} / г + {час}_{г г} / час + к^{2} "=" 0

$f_{xx}/f + g_{yy}/g + h_{zz}/h + k^2 = 0$

Мой читатель по физике пропускает несколько шагов и записывает это как 3 отдельных уравнения:

ф_{Икс Икс} / ф "=" - к_{Икс}

$f_{xx}/f = -k_x$

г_{у у} / г "=" - к_{у}

$g_{yy}/g = -k_y$

{час}_{г г} / час "=" - к_{г}

$h_{zz}/h = -k_z$

и определяет вектор волнового числа k . Я думаю, что мы предполагаем сложное решение, так как мы получаем окончательный результат:

Е "=" е^{- к \circ р}

$E = e^{ - \mathbf{k} \circ \mathbf {r} }$

Мой инженер- читатель пишет те же уравнения, что и:

ф_{Икс Икс} / ф "=" - к_{Икс}

$f_{xx}/f = -k_x$

г_{у у} / г "=" - к_{у}

$g_{yy}/g = -k_y$

{час}_{г г} / час "=" γ

$h_{zz}/h = \gamma$

где гамма - постоянная распространения и дает следующее уравнение

- к_{Икс} - к^{у} + γ^{2} "=" - к^{2}

$-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$

Вопрос 1 : почему постоянная распространения (комплексное число) может иметь другой знак? Ибо я подумал:

- к^{2} "=" - | | к | |^{2} "=" - (к_{Икс}^{2} + к_{у}^{2} + γ^{2})

$-k^2 = - || \mathbf{k} ||^2 = -(k_x^2 + k_y^2 + \gamma^2)$

Что в математике происходит?

Вопрос 2 : Почему волновое уравнение не записывается/не решается в следующей форме

\nabla^{2} Е + к_{с}^{2} Е "=" 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k_c^2 \mathbf{E} = 0$

если другое исходное состояние

к_{с ты т}^{2} "=" γ^{2} + к^{2}

$k_{cut}^2 = \gamma^2 + k^2$ где гамма — постоянная распространения, k — волновое число, а kc — волновое число отсечки?

Для справки, они упростили его до, а затем перешли к окончательному результату, оставив меня вне вывода

\nabla^{2} Е + (γ^{2} + к^{2})^{2} Е "=" 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + (\gamma^2 + k^2)^2 \mathbf{E} = 0$

Я не получаю «правильный» ответ, а именно:

{ЧАС}_{Икс} "=" \frac{- 1}{К_{с}^{2}} (γ \frac{д}{д Икс} {ЧАС}_{г} + Дж ю ϵ \frac{д}{д у} Е_{г})

$H_x = \frac{-1}{K_c^2}( \gamma \frac{d}{dx} H_z + j \omega \epsilon \frac{d}{dy} E_z)$

Вопрос 3 : когда мы используем:

\nabla^{2} Е + к^{2} Е "=" 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0$

против

\nabla^{2} Е + γ^{2} Е "=" 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + \gamma^2 \mathbf{E} = 0$

Обозначение :

γ "=" α + Дж β

$\gamma = \alpha + j \beta$

к "=" - Дж α + β

$k = - j \alpha + \beta$

альфа - постоянная затухания
бета - фазовая постоянная / «волновое число распространения»

Редактирует по запросу. Книга Элементы электромагнетизма

Герт

Вы уверены

- k_{x} - k^{y} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$ верно?

Эдвард

да! проверьте читатель, который я разместил

Ответы (2)

Роль константы разделения при решении волнового уравнения для электромагнитных волн и волнового числа отсечки

Вы уверены $-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$ верно?
да! проверьте читатель, который я разместил

Патрик · Answer 1

Разделение переменных позволяет ввести три константы (которые могут быть мнимыми), которые подчиняются

α^{2} + β^{2} + γ^{2} "=" - к^{2} .

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -k^2.$ Конечно, можно было бы определить эти три константы по-другому, чтобы изменить знаки. Они предпочитают писать

- к_{Икс}^{2} - к_{у}^{2} + γ^{2} "=" - к^{2}

$-k_x^2-k_y^2 + \gamma^2 = -k^2$ потому что они ожидают, что граничные условия, которые они наложат позже, будут такими, что при таком выборе знака константы

k_{x}, k_{y}

$k_x,k_y$ и

γ

$\gamma$ будет реальным.

Николаос Сулис · Answer 2

Ответ на вопрос 1

Как говорится в вашей книге в уравнении (12.7):

- к_{Икс}^{2} - к_{у}^{2} + γ^{2} "=" - к^{2}

$-k_{x}^2-k_{y}^2+\gamma^2 = -k^2$ путем умножения на

- 1

$-1$ и, взяв квадратный корень, это эквивалентно:

к "=" \sqrt{к_{Икс}^{2} + к_{у}^{2} - γ^{2}}

$k = \sqrt{k_{x}^2+k_{y}^2-\gamma^2}$ обратите внимание, что вы сделали ошибку знака для

γ

$\gamma$ в вашем уравнении. Сейчас если:

k_{x}^{2} + k_{y}^{2} < γ^{2}

$k_{x}^2+k_{y}^2 < \gamma^2$ затем

k

$k$ является мнимым, иначе оно реально. Наличие

j

$j$ (квадратный корень из -1) или его отсутствие влияет на знак

k

$k$ . Теперь имейте в виду

k

$k$ не является самой константой пророгации,

γ

$\gamma$ есть, как упоминается в вашей книге ниже уравнения (12.8c). Та же логика применима к тому, почему

γ

$\gamma$ может изменить его знак.

Ответ на вопрос 3

Мы всегда используем первое уравнение (уравнение Гельмгольца), которое вы упомянули, с $k$ обратите внимание на уравнение (12.4). Имейте в виду уравнение (12.7) для того, как $k$ относится к другим константам.

Ответ на вопрос 2

Здесь: $k_{cut}^2 = k_{x}^2+k_{y}^2$ интерпретация - это «волновое число отсечки» для определенной моды в волноводе. Но это особенно верно для прямоугольных волноводов. Это получается, когда $\gamma = 0$ для таких волноводов из уравнения (12.7), и вы можете использовать его, чтобы найти граничные частоты для конкретных мод. Теперь, если вы помните мой ответ на свой третий вопрос, вы знаете, что должны использовать $k$ в уравнении Гельмгольца НЕ $k_{cut}$ . Если вы предполагаете:

Е "=" \hat{Е} (Икс, у) е^{- γ г}

$\textbf{E} = \hat{\textbf{E}}(x,y)e^{-\gamma z}$

в чем вы можете убедиться, взглянув на уравнения (12.9), но здесь я рассматриваю только распространение в направлении +z. Давайте решим для $E_{z}$ компонент, например, тогда:

\frac{\partial^{2} Е_{г}}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{\partial^{2} Е_{г}}{\partial у^{2}} + \frac{\partial^{2} Е_{г}}{\partial г^{2}} + к^{2} Е_{г} "=" 0

$\frac{\partial^2 E_{z}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{z}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{z}}{\partial z^2} + k^2E_{z} = 0$

\frac{\partial^{2} \hat{Е_{г}}}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{\partial^{2} \hat{Е_{г}}}{\partial у^{2}} + γ^{2} \hat{Е_{г}} + к^{2} \hat{Е_{г}} "=" 0

$\frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial y^2} + \gamma^2 \hat{E_{z}} + k^2\hat{E_{z}} = 0$

\frac{\partial^{2} \hat{Е_{г}}}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{\partial^{2} \hat{Е_{г}}}{\partial у^{2}} + \hat{Е_{г}} * (к_{Икс}^{2} + к_{у}^{2}) "=" 0

$\frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial y^2} +\hat{E_{z}} * (k_{x}^2+k_{y}^2) = 0$

тогда вы решаете для $\hat{E_{z}}$ а затем вы можете найти любой другой компонент, используя уравнения развязки из законов Максвелла.

Роль константы разделения при решении волнового уравнения для электромагнитных волн и волнового числа отсечки

Эдвард

Герт

Эдвард

Ответы (2)

Патрик

Николаос Сулис

Электромагнитные волны, создаваемые синусоидальным током

Что заставляет электромагнитные волны распространяться в свободном пространстве?

Является ли это возможным выводом уравнения электромагнитной волны?

Интерференция волн по полям и интенсивности

Направление поля ВВВ по правилу правой руки для электромагнитной волны

Закон Фарадея: интегральные и дифференциальные формы

Почему магнитное поле не поляризуется при поляризации света?

нахождение направления магнитного поля по электрическому полю и вектору k

Вывод волнового уравнения для электромагнитных волн

Нельзя ли разложить ЭМ плоскую волну на сферические волны? (Несоответствие нормализации)