Электростатическое поле на компактных поверхностях

Проблема заключается в соединении леммы Пуанкаре с компактностью (без края) двумерного многообразия$M$мы рассматриваем. Благодаря им поток электрического поля должен быть одновременно нулевым и$1$для$1$-поверхность (замкнутая кривая), окружающая носитель дельта-функции, поскольку эту кривую можно рассматривать как границу области, включающей заряд, но также и границу его дополнения. Это свойство должно выполняться для любой плотности заряда над коллектором: общий заряд должен быть равен нулю. Как следствие, написанное вами уравнение не имеет решения, поскольку вы имеете дело с плотностью заряда, интеграл которой отличен от нуля.

Однако есть некоторые выходы. Самый простой получается путем добавления отрицательной константы в правую часть вашего уравнения, интеграл от которой по всей компактной поверхности сокращает интеграл от дельты. Это непрерывная плотность заряда, которая компенсирует локализованный заряд, возникающий из-за дельта-функции.
На самом деле фундаментальное решение должно удовлетворять

Эта процедура работает, в частности, для плоского 2-тора, где такое фундаментальное решение может быть явно вычислено с помощью двойного ряда Фурье (попробуйте обратить внимание на нулевую моду).

Полученное фундаментальное решение дает с помощью стандартной процедуры свертки потенциальное поле (удовлетворяющее уравнению Пуассона), создаваемое гладкой плотностью заряда$\rho$при условии, что полный (интегральный) заряд обращается в нуль, как это и требуется.

Все это работает и в компактном$n$многомерное многообразие (без края), относящееся к уравнению Пуассона, построенному по заданной на нем гладкой римановой метрике.

Интересно отметить, что вне поддержки дельта-функции упомянутые фундаментальные решения, которые являются распределениями, тем не менее, являются гладкими функциями в силу теорем об эллиптической регулярности. Для 2-тора найденный ряд Фурье следует рассматривать как ряд распределений. Однако она слабо сходится к гладкой функции вне носителя дельты.