Доказательство теоремы Эрншоу в трех измерениях очень тонко!

Уравнение Лапласа для электростатического потенциала$\phi(\textbf{r})$дан кем-то

Говорят, что уравнение (1) кодирует факт:

Свободно подвижный заряд не может находиться в устойчивом равновесии под действием одних только электростатических сил .

Чтобы заряд находился в устойчивом равновесии, он должен находиться в экстремуме своего потенциала.$\phi(\textbf{r})$. В учебниках утверждается, что из уравнения (1) следует, что функция$\phi(\textbf{r})$не имеет экстремума.

Поэтому в учебниках, кажется, предполагается, что необходимым условием отсутствия экстремума у ​​функции нескольких переменных (по крайней мере двух) является$\boldsymbol{\nabla}^2\phi(\textbf{r})= 0$.

Однако для функции$f(x,y)$двух переменных фактическое условие отсутствия экстремума

Доказательство

Обратите внимание, что для двух измерений уравнение (1) подразумевает$\phi_{xx}+\phi_{yy}=0.$Возводя его в квадрат, мы получаем,

Вопрос

Как я понимаю, для более чем одномерного,$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0$не является необходимым условием для функции$\phi(\textbf{r})$чтобы не было экстремума. Фактическое условие отсутствия экстремума в случае$\phi(x,y)$является$\phi_{xx}\phi_{yy}-(\phi_{xy})^2<0$что, однако, согласуется с (1).

Но как вообще очевидно, что$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0$согласуется с условием отсутствия экстремума в трех измерениях?