Электрическое поле, зависящее от времени: математическое расширение для локального электрического поля

Question

Электрическое поле, зависящее от времени: математическое расширение для локального электрического поля

альбедо

Во многих статьях и книгах я вижу, что локальное электрическое поле расширяется как

{\vec{Е}}_{0} (\vec{р} (т)) "=" {\vec{Е}}_{0} ({\vec{р}}_{0}) - (\vec{а} (т) \cdot \nabla) {\vec{Е}}_{0} ({\vec{р}}_{0}) потому что (Ом т) + \dots

$\vec E_0(\vec r(t)) = \vec E_0(\vec R_0) − (\vec a(t) \cdot \nabla) \vec E_0(\vec R_0) \cos(\Omega t) + \ldots$

Например, на странице 2 уравнение 3 на http://arxiv.org/pdf/0902.2746.pdf

Никогда не понимал этого расширения. Может ли кто-нибудь объяснить мне, что это за расширение и при каких условиях мы можем выразить локальное электрическое поле в этой форме. Какова физическая интерпретация этого расширения?

смягченный

Это похоже на простое разложение Тейлора вокруг

r_{0}

$\textbf{r}_0$ , градиент является производной функции и

r (t) - r_{0} = a (t) \cos (Ω t)

$\textbf{r}(t) -\textbf{r}_0 = \textbf{a}(t)\cos(\Omega t)$ .

Ответы (1)

Электрическое поле, зависящее от времени: математическое расширение для локального электрического поля

Это похоже на простое разложение Тейлора вокруг $\textbf{r}_0$ , градиент является производной функции и $\textbf{r}(t) -\textbf{r}_0 = \textbf{a}(t)\cos(\Omega t)$ .

Праан · Answer 1

Обратите внимание, что $\mathbf r(t)$ — траектория (априори неизвестная) заряженной частицы во внешнем электрическом поле. Теперь рассмотрим анзац $\mathbf r(t) = \mathbf r_0(t) - \mathbf a(t) \cos \Omega t$ , что мотивировано решением для однородного электрического поля $\mathbf E(t) = \frac{m\Omega^2}{q} \mathbf a \cos \Omega t$ . Здесь $\mathbf r_0(t)$ представляет собой медленный дрейф из-за пространственного изменения электрического поля и $\mathbf a(t) \cos \Omega t$ представляет собой более быстрое колебательное движение из-за возбуждения поля (также присутствует для однородного поля).

Каждая компонента электрического поля вдоль этой траектории $E_i (\mathbf r(t))$ можно формально разложить по Тейлору в каждый момент времени $t$ около $\mathbf r_0(t)$ до первого порядка в $\mathbf a(t)$ следующее

\begin{aligned} Е_{я} (р (т)) & ≃ Е_{я} (р_{0} (т)) + {\nabla Е_{я} |}_{р (т) "=" р_{0} (т)} \cdot (р (т) - р_{0} (т)) \\ "=" Е_{я} (р_{0} (т)) - а (т) \cdot {\nabla Е_{я} |}_{р (т) "=" р_{0} (т)} потому что Ом т, \end{aligned}

$\begin{align} E_i ( \mathbf r(t) ) & \simeq E_i ( \mathbf r_0(t) ) + \left. \nabla E_i \right|_{\mathbf r(t) = \mathbf r_0(t)} \cdot \left( \mathbf r(t) - \mathbf r_0(t) \right) \\ & = E_i ( \mathbf r_0(t) ) - \mathbf a(t) \cdot \left. \nabla E_i \right|_{\mathbf r(t) = \mathbf r_0(t)} \cos \Omega t, \end{align}$ или в векторной записи:

Е (р (т)) ≃ Е (р_{0} (т)) - потому что Ом т [(а (т) \cdot \nabla) Е] (р_{0} (т)) .

$\begin{equation} \mathbf E ( \mathbf r(t) ) \simeq \mathbf E ( \mathbf r_0(t) ) - \cos \Omega t\left[\left( \mathbf a(t) \cdot \nabla \right) \mathbf{E} \right](\mathbf r_0(t)). \end{equation}$

Электрическое поле, зависящее от времени: математическое расширение для локального электрического поля

альбедо

смягченный

Ответы (1)

Праан

Почему поверхности действуют как барьеры для электронов?

Можно ли квалифицировать заряд, движущийся по открытой траектории, как ток?

Каков ответ на парадокс диска Фейнмана?

Вопрос по зарядке и разгону

«Электростатическое поле цепи» Что это значит?

Электрический диполь, ошибка в расчете

Энергия магнитного поля вокруг проводника с током аналогична энергии электрического поля, связанной с изолированным зарядом?

Вычисление потенциала на поверхности из потенциала на другой поверхности

Закон Био-Савара и поверхностные заряды на движущихся пластинах

Почему электрическое поле можно найти методами электростатики, если заряд движется?