Как выбрать правильную функцию Грина?

Рассмотрим случай свободного скалярного поля, управляемого обычным лагранжианом,

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2$$

Пропагатор или, что то же самое, функция Грина для теории - это функция, которую можно рассматривать как отклик, когда мы используем дельта-функцию в качестве входных данных в уравнениях движения, т.е.

$$\square \Delta_F(x-y) \sim \delta^{(4)}(x-y)$$

В явном виде это дается интегралом Фурье по четырехимпульсу

$$\Delta_F (x-y)=\int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2} e^{-ip \cdot (x-y)}$$

Мы сталкиваемся с сингулярностью в$p^0 = \pm \sqrt{p^2+m^2} = \pm E_{p}$. Мы можем выбрать контур, который избегает их, опускаясь ниже первого, а затем выше другого. Однако для применения теоремы о вычетах она должна быть замкнутой. Для$x^0 > y^0$, замкнем его против часовой стрелки в плоскости верхней половины и наоборот, если$y^0 > x^0$. В качестве альтернативы мы можем определить пропагатор Фейнмана,

$$\Delta_F = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \, \frac{i}{p^2-m^2 + i\epsilon} e^{-ip\cdot (x-y)}$$

The $i\epsilon$предписание Фейнмана смещает полюса на бесконечно малую величину от реальной оси; в результате интеграл, проходящий прямо через реальную линию, эквивалентен вышеупомянутому контуру.

---

В зависимости от вашей цели может быть полезно выбрать конкретный контур, и в этом случае мы можем определить запаздывающий пропагатор.$\Delta_R$как тот, который решает пройти каждый полюс на реальной линии, и продвинутый контур, идущий вниз. Смотрите изображение ниже:

---

Чтобы понять, что они означают физически, рассмотрим в контексте теории отклика функцию отклика$\chi$который определяет, как изменится система при добавлении источника$\phi$, т.е.

$$\delta \langle \mathcal{O}_i(t) \rangle = \int dt' \chi(t-t')\phi(t')$$

Ясно, что вышеупомянутое на самом деле свертка,$\chi \ast \phi$, и$\chi$также имеет интерпретацию функции Грина. Но мы не можем повлиять на прошлое, так ясно,

$$\chi(t) = 0, \quad t < 0$$

Для преобразования Фурье это эквивалентно утверждению:

$$\chi(\omega) \quad \mathrm{analytic}, \quad \mathrm{Im} \, \omega > 0$$

Другими словами,$\chi(\omega)$не имеет полюсов в верхней полуплоскости. Этот объект$\chi(t)$на самом деле является нашей запаздывающей функцией Грина и называется также каузальной функцией Грина именно потому, что на нее накладывается указанное выше требование.