Проводники и теорема единственности

Это типичный случай задачи, достаточно ясной физически, но запутанной математически. Там, где строгие результаты фольклорно используются для достижения какого-то результата, для получения которого на самом деле потребовалось бы гораздо больше внимания ... Но, по-видимому, математические детали не изменили бы физической картины. Здесь наглядно проявляется различие между теоретической физикой и математической физикой .

На самом деле, эта теорема единственности не используется должным образом в упомянутом вами примере. В исходном утверждении свойство уникальности сохраняется, когда$\Omega$является открытым и ограниченным подмножеством$\mathbb R^n$и$\varphi$непрерывен в$\overline{\Omega}= \Omega \cup \partial \Omega$и это$C^2(\Omega)$удовлетворяющее уравнению Пуассона$\Delta \varphi = \rho$в$\Omega$сам.

(Доказательство единственности — тривиальное следствие знаменитой теоремы о гармонических функциях$\phi$в$\Omega$, т. е. функции, проверяющие$\Delta \phi =0$в$\Omega$, которые непрерывны в$\overline{\Omega}$. Эта теорема устанавливает, что если$\Omega$открыт, а закрытие компактно,$\max_{\overline{\Omega}} |\phi|$достигается в точке$\partial \Omega$. Думать о$\phi$как разность двух решений уравнения Пуассона, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям, легко возникает свойство единственности.)

Когда$\Omega$не ограничено , как в упомянутом примере, где$\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$, необходимо добавить дополнительные требования к поведению$\varphi$для$||(x,y, z)|| \to +\infty$, и есть ряд возможностей.

Однако упомянутый пример страдает от другой проблемы. В упомянутом выше результате уникальности$\rho$непрерывен, потому что$\Delta \varphi$является. В рассматриваемом примере вместо$\rho$сингулярна, собственно говоря, является дельтой Дирака. Есть несколько возможностей справиться с этой проблемой. Самый простой — замена точечного заряда заданным сферически-симметричным распределением — полным зарядом$q$и заключенный в ограниченной сферической малой области - и непрерывно исчезающий на границе этой области. В остальной части моего ответа я предполагаю это. Другая возможность, технически более сложная, состоит в том, чтобы удалить точку, занятую зарядом, из$\Omega$. В этом случае результат уникальности не может быть использован в его нынешнем виде, потому что$\Omega$приобретает другую часть границы, где потенциал расходится. В этом случае могут быть реализованы другие подходы, основанные на тождествах Грина вместо принципа максимума.

В этом случае в$\Omega$заряд$q$(это$\rho$распределение, о котором вы говорите) с расстоянием$d$от$\partial \Omega$и$\varphi=0$на$\partial \Omega$потому что$\partial \Omega$представляет собой заземленную проводящую плоскость. Значение$\varphi$на$\partial \Omega$постоянна, мы вправе предположить, что она$0$. Истинное граничное условие здесь состоит в том, что$\varphi$достигает на$\partial \Omega$то же самое значение, которое он достигает для$||(x,y, z)|| \to +\infty$.

Перейдем к рассмотрению ситуации, когда два заряда находятся на взаимном расстоянии$2d$вдоль$z$оси, сосредоточившись на том, что происходит в$\overline{\Omega}$(не за его пределами) относительно распределений заряда и граничных условий$\varphi$.

The $\rho$распределение в полупространстве$\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$то же, что и в предыдущем случае: есть заряд$q$на расстоянии$d$с самолета в$z=0$.

Также граничные условия$\varphi$на$\partial \Omega$и для$||(x,y, z)|| \to +\infty$такие же, как и для другого случая: самолет в$z=0$эквипотенциальна в силу симметрии задачи и значения$\varphi$на нем то же самое, что и значение$\varphi$для$||(x,y, z)|| \to +\infty$.

Поэтому, применяя свойство единственности в$\overline{\Omega}$, мы стремимся сделать вывод, что потенциал$\varphi$в регионе$\Omega \cup \partial \Omega$одинаково в обоих случаях.

ПРИЛОЖЕНИЕ . На самом деле можно использовать аргумент, вытекающий из теории эллиптической регулярности, чтобы иметь дело с единственностью в ситуациях, когда в ограниченной области присутствуют точечные заряды, описываемые дельтами Дирака. Идея основана на следующем результате об эллиптической регулярности.

Если$\phi$это дистрибутив, проверяющий$\Delta \phi =f$(в слабом смысле) для гладкого ($C^\infty$) функция$f$, затем$\phi$это$C^\infty$функция до нулевого набора меры.

(Стоит подчеркнуть, что приведенный выше результат немедленно влечет за собой тот фантастический факт, что гармонические функции всегда$C^\infty$да и не только$C^2$, на самом деле можно доказать, что они действительно аналитичны .) Этот результат приводит к следующей теореме единственности, которую можно улучшить, ослабив некоторые гипотезы о поведении функции на «правильной» границе.

Теорема . Предполагать$\Omega \subset \mathbb R^n$непусто открыто и$\overline{\Omega}$компактен. Позволять$p \in \Omega$и рассмотрим проблему:

$$\Delta \varphi(x) =\rho \quad x \in \Omega \setminus \{p\}$$ с граничными условиями $$\varphi|_{\partial \Omega} = f$$ где $$\varphi \in C^2(\Omega \setminus \{p\}) \cap C^0(\partial \Omega \cup \Omega \setminus \{p\} )$$ и$f \in C^0(\partial \Omega)$и$\rho \in C^0(\Omega \setminus \{p\})$назначаются. Если оба$\varphi_1$и$\varphi_2$являются решениями проблемы и $$\lim_{x\to p} (\varphi_1(x)- \varphi_2(x))=0\:,$$ (где пределы могут расходиться или не существовать, если рассматривать их отдельно, чтобы воплотить случай точечного заряда в$q$) затем $$\varphi_1 = \varphi_2\:.$$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . При данных гипотезах, очевидно,$\phi:= \varphi_1-\varphi_2$непрерывен на$\Omega$, поэтому это распределение для тестовых функций,$h\in C_0^\infty (\Omega)$. Если$B_\epsilon$это маленький мячик вокруг$p$с радиусом$\epsilon$, используя непрерывность$\phi$в частности, интегрирование по частям и определение$\Omega_\epsilon := \Omega \setminus B_\epsilon$, у нас есть

$$\int_\Omega \phi \Delta h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{\Omega_\epsilon} \phi \Delta h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon} (\Delta \phi) h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon}(\rho-\rho) h d^nx$$ $$= \lim_{\epsilon \to 0^+} 0 = 0\:.$$ Все это означает, что $\phi$решение для распределения $\Delta \phi =0$в распределительном смысле. Следовательно, в силу упомянутого свойства эллиптической регулярности она является гладкой функцией с точностью до множества нулевой меры. С $\phi$непрерывен на $\Omega \setminus \{p\}$и продолжается до непрерывной функции при $p$(который имеет нулевую меру), $\phi = \varphi_1-\varphi_2$является гладкой функцией всюду в $\Omega$. В частности, в силу непрерывности вторых производных гладко продолженная функция $\phi$проверяет $\Delta \phi =0$во всем наборе $\Omega$в собственном смысле . По построению получаем функцию $\phi$который $C^\infty(\Omega) \cup C^0(\overline{\Omega})$, удовлетворяющий $\Delta \phi =0$в $\Omega$и $\phi =0$на $\partial \Omega$. Ввиду стандартного результата единственности $\phi=0$в $\overline{\Omega}$, т.е. $\varphi_1= \varphi_2$в $\overline{\Omega}$. КЭД

Теорема единственности на самом деле вытекает из математики дифференциальных уравнений.

Если у вас в комплектации 1) Дифф экв. 2) Граничные условия

Тогда у вас есть единственное решение.

Это также означает, что если вы нашли решение, удовлетворяющее этим условиям, то это единственное решение, которое у вас есть.

В так называемой зеркальной задаче вы меняете одно граничное условие, например, распределение заряда на поверхности, на другое - виртуальный точечный заряд.

Когда вы решили точечный заряд, эффективное распределение заряда на поверхности имитирует виртуальный точечный заряд.

Дифференциальное уравнение то же самое, но вы заменили граничное условие Дирихле на соответствующее граничное условие Неймана. это дает то же решение.

Аналогом может быть, например, гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение та же. У вас может быть граничное условие$x_0=$что-то и$v_0$=что-то еще, и вы можете обменять их на$x_{t'}$= что-то$v_{t'}$= что-то еще или пара$x_{t'}$и$x_{t''}$
И все они могут дать одно и то же решение, если они являются эквивалентными граничными условиями.