Электростатика/магнитостатика: почему ∫all spacedr⃗ ∇⋅(A⃗ ×B⃗ )∫all spacedr→∇⋅(A→×B→)\int_\text{все пробелы} d\vec r \; \nabla \cdot(\vec A \times \vec B) равно 0?

Энергия статических полей

Первые два термина,

$$\int_{\text{all space}} \mathrm{d}\vec r \; \nabla \cdot \left(\vec A \times \vec B\right)$$ и $$\int_{\text{all space}} \mathrm{d}\vec r \; \nabla \cdot \left(\phi \vec E \right)$$ становятся поверхностными интегралами $\vec A\times \vec B$и $\phi \vec E$соответственно по теореме Стокса. Вы можете, составив статические уравнения движения для $E$и $B$в сферических координатах видим, что функции Грина, вытекающие из этих уравнений, затухают как $\frac{1}{r^2}$, поэтому продукты в вышеуказанных условиях должны отмирать как минимум $\frac{1}{r^3}$в качестве $r\to\infty$. При выполнении поверхностного интеграла у нас есть член площади $4\pi R^2$что оставляет ведущее $\frac{1}{R}$зависимость под интегралом, которая обращается в нуль при $R \to \infty$.

Расчет набросан в Википедии здесь .

Примечание о начислении баллов

(Классическая электродинамика Джексона, стр. 40). Если вы включите электрическое поле из-за точечного заряда в

$$W=\frac{\epsilon_0}{2} \int \mathrm{d}V \vec E^2 \,,$$ вы получаете подынтегральное выражение, которое ведет себя как $\tfrac{1}{r^4} 4\pi r^2 \, \mathrm{d}r ~ \tfrac{1}{r^2}{\mathrm{d}r}$. Таким образом, интеграл расходится в $r=0$предел, отражающий тот факт, что энергия конфигурации поля точечного заряда расходится. Точно так же для электрического поля из-за двух разделенных точечных зарядов мы получаем два расходящихся члена «собственной энергии» и третий член, который представляет собой известную потенциальную энергию точечных зарядов. Поэтому имеет смысл отбросить эти члены собственной энергии, поскольку они вносят только фиксированную сумму, которая не меняется в зависимости от положения зарядов.

Надеюсь, Лайонел расширит свой ответ , потому что он выглядит элегантно, но я не могу полностью заставить его работать. В то же время, вот неуклюжий подход:

Из стандартного тождества$\nabla \cdot(\vec A \times \vec B)= \vec{B}\cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A}\cdot (\nabla \times \vec{B})$и по закону Фарадея расширить$\nabla \times \vec{B}$справа получаем:

$$\mu_0^{-1} \nabla \cdot \left(\vec A \times \vec B \right)= \mu^{-1} {\left|\vec{B} \right|}^2 - \vec{A}\cdot\vec{J} - \epsilon_0 \vec{A}\cdot\partial_t \vec{A} \tag{1}$$

Расширение$\epsilon_0\,\nabla\cdot(\phi\,\vec{E}) = -\epsilon_0 \nabla\phi\cdot{E} + \epsilon_0 \phi \nabla\cdot\vec{E}$и используя закон Гаусса для электричества, а также$\vec{E} = -\nabla \phi - \partial_t \vec{E}$мы получили:

$$\epsilon_0 \nabla\cdot \left(\phi \vec{E} \right) = -\epsilon_0 \left|\vec{E}\right|^2 + \phi\,\rho + \epsilon_0 \vec{E}\cdot\partial_t\vec{A} \tag{2}$$

Применяя теорему о расходимости к большому сферическому объему$V$охватывая весь ток и заряд с левой стороны обоих$\left(1\right)$и$\left(2\right)$вы получите поверхностные интегралы$\oint_{\partial V}\hat{n} \cdot \left(\vec{A}\times\vec{B} \right)\, {\rm d}S$и$\oint_{\partial V}\hat{n}\cdot \left( \phi \vec{E} \right)\, {\rm d}S$. Как и в комментариях, вам нужно предположить поведение распада$\vec{E}$,$\phi$,$\vec{B}$и$\vec{A}$их асимптотические зависимости их величин от радиуса$R$большой сферы для статических условий не более$R^{-1}$за$\phi$и$\vec{A}$и самое большее$R^{-2}$за$\vec{E}$и$\vec{B}$(вообще при динамических проблемах с излучением они все истощаются как$R^{-1}$). Таким образом, в статическом случае поверхностные интегралы будут изменяться как$R^{-1}$, следовательно, исчезают по мере того, как сфера становится достаточно большой, чтобы охватить все пространство. Отбрасывая изменяющиеся во времени члены в правой части$\left(1\right)$и$\left(2\right)$(для статических условий) вы получите нужный вам результат.

Как и в комментариях, есть более простые — и более общие — способы изучения потоков энергии в электромагнитном поле. В середине моего ответа на вопрос Physics SE «Как можно использовать магниты для подъема кусков металла, если сила магнитного поля не работает?» Я показываю стандартный метод, как, например , в Гриффитсе или литературном хорроре символических джунглей Джексона, "Классической электродинамике" (не забудьте взять с собой остро заточенный мачете, чтобы прорезать все уравнения).

Самое лучшее изложение, которое я знаю, находится в главе 27 второго тома Фейнмановских лекций по физике: глава под названием «Энергия поля и импульс поля». Фейнман настолько же математически строг, как и Джексон (возможно, лучше), и он изучает физику самым тщательным образом: обсуждая часто упускаемые из виду темы двусмысленности в определении энергии поля и потока, а также локальности потоков энергии. Однако метод в вашем вопросе интересен: я его раньше не видел, и он позволяет разделить$\frac{\epsilon}{2} \left| \vec{E}^2 \right|$и$\frac{\mu}{2} \left|\vec{H}^2 \right|$битов плотности энергии для изучения лоренц-коварианта$\left| \vec{E} \right|^2 - c^2 \left|\vec{B} \right|^2$.

Надеюсь, это все поможет.