Энергетические измерения в двухфермионной системе с двойной ямой

Ваше замешательство вполне уместно. Это далеко не школьный QM, большинство даже не заметят несоответствия и будут счастливо жить с вытекающими отсюда нестыковками.

Запутанность в этой ситуации неприменима, поскольку рассматриваемое гильбертово пространство не является тензорным произведением.

Вы можете запутать только те свойства составной системы, которые описываются полным тензорным произведением. Но состояния одинаковых частиц составляют только антисимметричную часть тензорного произведения; поэтому все обычные механизмы идут наперекосяк.

Ситуация подробно объясняется в разделе «Неразличимые частицы и запутанность» главы B3: Основы квантовых полей FAQ по теоретической физике , который заканчивается:

''Но если, на более практическом уровне, человек уже знает, что (при подготовке) есть два электрона или два фотона, один из которых движется влево, а другой вправо, можно использовать эту информацию, чтобы различить электроны или фотоны. : Частицы теперь описываются состояниями в тензорном произведении двух независимых, гораздо меньших эффективных гильбертовых пространств с несколькими локальными степенями свободы каждое (вместо одного антисимметричного двухчастичного гильбертова пространства со степенями свободы для каждой пары положений) , что делает их различимыми эффективными объектами. Следовательно, каждому из них можно присвоить отдельную информацию о состоянии и построить произвольные суперпозиции результирующих состояний тензорного произведения. Эти эффективные, различимые частицы могут быть (и, как правило, так и есть) запутаны».

[редактировать после обсуждения ниже] Я обновил свой FAQ, чтобы дать больше деталей, используя вращения вместо ваших энергий, что делает ситуацию более реалистичной. Цитирую соответствующие отрывки:

«Например, два электрона на фундаментальном уровне неразличимы; их совместная волновая функция пропорциональна |12>-|21>; никакая другая форма суперпозиции не допускается. [...] Таким образом, невозможно спроецировать его с помощью измерения в отделимое состояние, как всегда предполагают дискуссии о запутанности».

«Реалистичные рассуждения о запутанности в квантовой теории информации обычно рассматривают запутанность спиновых/поляризационных степеней свободы фотонов, поперечно локализованных в разных лучах, электронов, локализованных в квантовых точках и т. д. Например, два электрона в двух квантовых точках$dot_1$а также$dot_2$находятся в антисимметричном состоянии

$|\psi_1,\psi_2\rangle := |\psi_1,dot_1 \rangle \otimes |\psi_2,dot_2 \rangle- |\psi_2,dot_2 \rangle\otimes|\psi_1,dot_1\rangle$

в двухчастичном пространстве (в зависимости от 6 координат, кроме спинов, последние представлены$\psi_1$а также$\psi_2$), но поскольку позиции игнорируются (используются просто для определения того, где находится электрон), они рассматриваются как эффективные электроны в двухчастичном состоянии.$\psi_1 \otimes\psi_2$находящийся в крошечном 4-мерном тензорном произведении$C^2\otimes C^2$. Если раскрутка измеряется в$dot_1$, спиновая часть$\psi_1$схлопывается вверх и т. д. Обратите внимание, что при наблюдении за спином нет измерения положения, поскольку квантовые точки уже (и постоянно) измеряли присутствие частицы в каждой точке.

Таким образом, в этом небольшом эффективном пространстве говорить о запутанности электронов имеет смысл, поскольку пренебрежение положением (отвечающим за антисимметризацию) сводит пространство состояний к тензорному произведению. Но в полном двухчастичном пространстве попытка рассуждать о запутанности терпит неудачу на формальном уровне и в лучшем случае парадоксальна, если рассматривать ее неформально.

Edit2 (13 марта 2012 г.): Приблизительное представление, упомянутое в ответе Любоша, по существу совпадает с точным сокращенным представлением в моем ответе, если мы идентифицируем левую скважину = dot_1 и правую скважину = dot_2. Это сокращенное описание, которое объясняет знание того, что один электрон находится в каждой яме и должен оставаться там из-за стенок ямы. (Если бы стены были бесконечно высокими, его представление было бы точно таким же.) Это означает наличие способа различать электроны, так что можно было бы использовать меньшее тензорное произведение гильбертова пространства внутри большого антисимметричного гильбертова пространства для (приблизительно или точно, в зависимости от формы колодца) описывают оставшиеся степени свободы.

В своем ответе выше я взял, что спины остались только у степеней свободы, так как это ситуация, которая преобладает в квантовой теории информации. Однако редуцированное гильбертово пространство может учитывать и другие степени свободы. Пока эти дополнительные степени свободы локальны для каждой лунки/точки, все еще существует структура тензорного произведения и, следовательно, настройка, в которой запутанность имеет смысл и в которой можно подумать о подготовке запутанного 2-электронного состояния.

Я не категорически не согласен с ответом доктора Ноймайера; действительно, запутанность можно обсуждать только для гильбертовых пространств, являющихся тензорными произведениями.

Однако, если две части колодца достаточно удалены друг от друга, это почти так же и в вашей ситуации. Если посмотреть на это таким приблизительным образом, ответ таков: электроны — при условии, что вы занимали только одно спиновое состояние, например, оба электрона имеют спин вверх — не запутаны .

Почему?

Гильбертово пространство с двумя широко разнесенными ямами, в которых могут храниться электроны, приблизительно равно тензорному произведению

$${\mathcal H} = {\mathcal H}_\text{left well} \otimes {\mathcal H}_\text{right well}$$

Два отдельных произведения гильбертовых пространств не вполне четко определены: квантовую теорию поля на «области пространства» не хочется обсуждать из-за проблем с граничными условиями («большое» гильбертово пространство не ограничивает поля вблизи границ вокруг ям вообще, в то время как меньшие гильбертовы пространства должны налагать некоторые граничные условия, поэтому приведенная выше факторизация не может быть точной).

Однако до тех пор, пока эти граничные условия не представляют проблемы (например, потому что гарантируется, что все почти полностью ограничено вблизи колодца и ничто не подходит достаточно близко к этим границам), гильбертово пространство действительно факторизуется таким образом, как и состояние, которое вы написали:

$$|\psi\rangle = |\text{1 electron}\rangle_\text{left well} \otimes |\text{1 electron}\rangle_\text{right well}$$ Обратите внимание, что задача с одной ямой и одним электроном имеет только одно основное состояние: здесь нет вырождения, даже приблизительного.

Система просто состоит из двух независимых систем — двух колодцев в двух разных регионах — которые вообще не коррелированы и не запутаны. В квантовой теории поля приведенное выше состояние тензорного произведения можно записать как$a^\dagger_\text{left well} a^\dagger_\text{right well}|0\rangle$где два оператора создания не имеют никаких меток и состоят из операторов поля рядом с двумя скважинами соответственно. Незапутанное состояние определяется как состояние, которое может быть записано как тензорное произведение, и это именно то, что мы можем сделать здесь (в приближении с двумя областями).

Мы никоим образом не нарушаем принцип запрета Паули, потому что в этом приближенном двухобластном описании системы бинарное квантовое число «грубая позиция» (то есть либо «близкая левая яма», либо «почти правая яма») играет роль ту же роль, что и спин или другие квантовые числа. Два электрона имеют разные собственные значения «грубого положения», поэтому они могут находиться в одном и том же состоянии, когда речь идет об энергии, спине и всех других квантовых числах.

Это дополнительное квантовое число также является причиной того, что у вас есть два близких низколежащих по энергии состояния задачи двух ям. Существует двумерное гильбертово пространство для одного электрона, состоящее из собственных состояний с энергиями$E_1,E_2$: соответствующие собственные векторы являются «четными» или «нечетными» функциями положения (волновые функции либо имеют одинаковый знак в обеих ямах, либо противоположный знак). В приближении, когда пространство между ямами непроницаемо и граничные условия для областей не представляют проблемы, имеем$E_1=E_2$и двумерное гильбертово пространство также может быть сгенерировано из другого базиса, содержащего основное состояние левой ямы и основное состояние правой ямы. В этом приближении мы просто заполняем два состояния, которые различаются только «грубым положением» максимальным числом двух электронов.

Неравенство$E_1\neq E_2$в вашей точной трактовке возникает только потому, что существует ненулевая амплитуда вероятности того, что электрон туннелирует из одной ямы в другую. Если бы он не мог туннелировать, у нас было бы точное «удвоение» гильбертова пространства для одного электрона. По этой же причине нельзя измерить энергию «только в одной яме» с точностью, необходимой для различения$E_1$а также$E_2$.

Если ваш измерительный прибор расположен вблизи одной скважины, погрешность измерения энергии не может быть меньше, чем$E_1-E_2$поэтому вы не сможете сказать, «в каком из двух соседних состояний» находится электрон. То же самое верно и для окрестности другой ямы, поэтому измерение в одной яме не может повлиять на что-либо, обнаруживаемое вблизи другой ямы. .

Невозможность отличить$E_1$а также$E_2$измерением около одной скважины легко доказать; если вы измерите электрон возле левой ямы, с любой низколежащей энергией вблизи$E_1$или же$E_2$, вы доказываете, что этот электрон находится в собственном состоянии «грубой позиции». Но оператор «грубого положения» не коммутирует с полной энергией; собственное состояние$|\text{left well ground state}\rangle$представляет собой линейную суперпозицию$|E_1\rangle$а также$|E_2\rangle$собственные состояния (это правильная линейная суперпозиция, которая обращается в нуль вблизи другого колодца), что-то вроде

$$|\text{left well ground state}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |E_1\rangle - |E_2\rangle \right )$$ Если вы измерили «грубое положение», вы совершенно не уверены в собственном значении «точной энергии», потому что эти два оператора не коммутируют друг с другом; хрестоматийный пример принципа неопределенности. Если две ямы одинаково глубоки и т. д., увидев электрон возле левой ямы, у вас есть 50% шансов, что его энергия была $E_1$и 50% шансов, что это было $E_2$и ничего нельзя изменить в этих шансах, потому что они следуют из приведенного выше уравнения.

В терминах операторов можно сказать, что в базисе «основное состояние левой ямы» и «основное состояние правой ямы» оператор «точной энергии» выглядит как

$$H = \frac{E_1+E_2}{2}\cdot{\bf 1} + \frac{E_1-E_2}{2} \cdot \sigma_1$$ где второй член пропорционален недиагональной матрице, аналогичной первым двум матрицам Паули. В этом базисе он не диагональный, поэтому, если мы знаем, что нашли электрон возле левой ямы, мы знаем, что его «точная энергия» (независимо от того, $E_1$или же $E_2$) максимально неопределенно. Наоборот. Если мы найдем электрон в состоянии $E_1$, и мы уверены, что это не $E_2$, то этот электрон должен находиться в волновой функции, отличной от нуля вблизи обеих ям, поэтому мы ничего не узнаем о «приблизительном положении» (левом или правом), которое остается максимально неопределенным.

Если мы произведем измерение электрона вблизи левой ямы, правильный вывод, который позволяет нам предсказать антисимметрия или принцип Паули, состоит в том, что другой электрон находится в правой яме. Это так просто. Но знание того, что он находится в одном конкретном колодце, несовместимо с знанием того, находится он в другом или нет.$E_1$или же$E_2$собственное состояние, потому что операторы, соответствующие этим вопросам, не коммутируют друг с другом.

Если несколько электронов находятся в совершенно разных областях пространства, принцип запрета Паули, конечно, становится несущественным: электроны эффективно различимы по их местоположению. Таким образом, размерность гильбертова пространства для двух отдельных ям — это простое произведение размеров гильбертовых пространств для отдельных ям; здесь нет никакой дополнительной «антисимметризации», потому что мы обсуждаем «недиагональные блоки» матрицы, а антисимметричная часть состояния скрывается в соглашении о том, как мы обозначаем два электрона.

Но чтобы посмотреть на ситуацию с такой факторизацией, мне пришлось организовать гильбертово пространство как тензорное произведение частей, соответствующих отдельным областям. Если мы организуем гильбертово пространство в соответствии с «отдельными электронами, которые априори могут быть где угодно», мы вообще не можем говорить о запутанности, потому что полное гильбертово пространство многих электронов не является тензорным произведением пространств отдельных электронов. : это его антисимметризация.

Самые простые и строгие определения запутанности неприменимы к таким антисимметризованным тензорным пространствам. По-прежнему существует естественное соглашение, согласно которому, если у нас есть антисимметричные (или симметризованные) тензорные произведения гильбертовых пространств, мы по-прежнему считаем антисимметризацию (или симметризацию) состояния тензорного произведения незапутанным состоянием. Это включает в себя ваше состояние. Такое определение, как правило, приводит к тем же вердиктам, что и описанная выше процедура, основанная на квантовом поле (состоящем из различных областей).

В любом случае, вы не найдете никакого полезного способа доказать, что (и почему) эти два электрона запутаны: мы вообще не узнаем никакой новой информации (например, о спине) об «электроне в левой яме». так что это "нет информации" нельзя спутать ни с какой информацией из правого колодца (который тоже пустой). Вопрос о том, есть ли здесь запутанность, либо плохо определен, либо они не запутаны. И даже если бы вы нашли (надуманное) определение, которое позволило бы вам сказать, что простое состояние запутано, такая «запутанность» не будет иметь физических последствий. Две сильно разделенные области (или лунки) независимы. В частности, законы квантовой теории поля строго локальны, поэтому измерение или решение, сделанное вблизи одной скважины, выигрывает.

Подведем итоги и ответим на ваши вопросы:

1. Обнаружение электрона в основном состоянии левой ямы означает, что он имеет 50% шансов оказаться в основном состоянии.$E_1$состоянии и 50% находиться в близлежащем$E_2$состояние проблемы двойной ямы; мы не можем одновременно различать левое и правое, а также$E_1$против$E_2$потому что соответствующие операторы отказываются коммутировать друг с другом. (Я говорю «отказаться», а не «сбой», потому что это святое право — и доминирующая ситуация — для двух операторов не коммутировать. У них нет обязанности коммутировать в квантовой механике, поэтому ненулевой коммутатор не является ошибкой, не так ли? в любом случае неплохо.) Если мы находим электрон возле левой ямы, антисимметрия позволяет нам сказать, что второй электрон находится возле правой ямы, и наоборот. Но измерения, связанные с одной из двух областей, не могут сказать нам о точной энергии одного электрона (и, следовательно, они ничего не говорят нам об энергии другого)

2. В описании «отдельных электронов» нельзя говорить о запутанности, потому что полное гильбертово пространство является антисимметризацией (редуцированной версией) тензорного произведения, а не полного тензорного произведения. При приближенном описании квантовой теории поля в двух областях большое гильбертово пространство тензорно факторизуется, а двухэлектронное состояние (занимающее два низколежащих состояния) не запутывается. Если начальное состояние не запутано, а эволюция квантовой системы соблюдает локальность (как и квантовая теория поля), никакая запутанность не может быть создана действиями, совершаемыми вблизи одного или другого колодца. Запутанность всегда является следствием контакта двух подсистем в прошлом.

3. Да, как я уже сказал, вы совершенно правы: если мы знаем, что электрон находится вблизи левой ямы, шансы на то, что он находится в$E_1$состояние двух колодцев или близлежащее$E_2$в двухъярусном состоянии составляют ровно 50% для обоих случаев. Левый против правого и$E_1$-против-$E_2$не могут быть измерены одновременно, как$J_z$а также$J_x$компоненты спина не могут; на самом деле эти два примера полностью математически изоморфны.

Блог-версия этого моего ответа находится здесь;

http://motls.blogspot.com/2012/03/energy-measurements-in-two-fermion.html#more

Я уже ответил на этот вопрос для «реального» случая двух электронов со спином, но Любош уверяет меня, что ОП означает, что я должен рассмотреть случай без спина. Я не уверен, как это будет выглядеть... если спина нет, то электроны - бозоны, и нет принципа запрета Паули. Но Любош далее объясняет в своем комментарии, что мы должны рассматривать «встроенный» случай, когда все электроны раскручиваются вверх, где он имеет в виду, что этот случай «встроен» в реальность произвольного спина ... мы просто ограничиваемся рассмотрением случаев где спин вверх.

Я сделал это сейчас, и это все еще не похоже на что-то узнаваемое из других опубликованных ответов. Я начну с рассмотрения случая двух атомов водорода с одним электроном. Это не так уж сложно; и мы получаем что-то вроде того, о чем говорят люди, когда два энергетических уровня расположены очень близко друг к другу:

Симметричный случай - это истинное основное состояние, и один электрон в основном состоянии поровну делится между двумя атомами. Если вы наблюдаете электрон в одном или другом атоме, то он находится не в основном состоянии, а в суперпозиции. Если вы найдете его у левого атома, то это сумма симметричного и антисимметричного состояний. Если вы найдете его в правильном атоме, это разница. Поскольку сложная фаза двух состояний прецессирует с разной скоростью, то, что сейчас является суммой, позже станет разностью: так что электрон, находящийся слева, в конечном итоге окажется справа.

Если вы добавите второй электрон, все будет по-другому. Оба электрона могут занимать одно и то же состояние, если их спины противоположны, но Любош уверяет, что мы должны ограничиться теми случаями, когда оба электрона имеют спины вверх. Это возвращает нас к ответу, который я опубликовал ранее, для произвольного случая, когда существует четыре уровня энергии. Только в одном из этих случаев оба спина идут вверх... это мое Состояние III. Технически нельзя сказать, что один электрон находится в точке А, а другой — в точке В; вы должны сказать, что электроны находятся в суперпозиции состояний, где А здесь, а В там, и наоборот.

В любом случае, есть только одно государство. Нет таких суперпозиций, как E1E2 - E2E1, как заявил ОП, и Любош и Арнольд отправились в город. Я просто не могу представить, о чем говорят люди.

Мне не ясно, что ответы, опубликованные до сих пор, касаются вопроса ОП. Я считаю, что у ОП нет надлежащей системы представления возможных состояний. Существует не два собственных энергетических состояния, а четыре: истинное основное состояние, которое является синглетным спиновым состоянием, и еще три состояния, очень близких к основному состоянию, которые являются триплетными состояниями. Он говорит о суперпозиции двух собственных энергетических состояний, как если бы он объединил их, чтобы сформировать антисимметричное состояние ... кажется, он пытается построить синглетное состояние из энергетических состояний, но это не работает. Вы строите синглетное состояние из состояний положения... A-up/B-down и т.д.; и когда вы их правильно комбинируете, вы получаете синглетное состояние, которое на самом деле является собственным состоянием с самой низкой энергией.

Все самое интересное происходит, когда вы получаете систему из двух разделенных атомов в этом синглетном состоянии. Если измерить вращение одного, то вращение другого должно мгновенно стать противоположным. Все чудесные парадоксы, о которых все любят говорить, вытекают из этой ситуации. Однако есть пара проблем. Не так просто измерить спин электрона. Мне все равно, что кто-то говорит: это не так просто. И я не думаю, что кто-то знает даже принципиальный способ приготовить систему из двух атомов водорода в спин-синглетном состоянии. Я не сомневаюсь, что такие пары существуют в природе: я просто не думаю, что есть какой-либо способ изолировать такую ​​пару и определить, что она действительно находится в синглетном состоянии, по крайней мере, не разрушая это состояние в процессе.

Я разместил в своем блоге несколько набросков, чтобы показать, как выглядят базисные состояния для системы из двух атомов водорода. У меня были некоторые проблемы с тем, чтобы сделать это правильно , потому что это немного сбивает с толку, но я почти уверен, что моя окончательная версия верна. Это изображение, которое я придумал: оно должно быть самоочевидным, но, вероятно, было бы полезно заглянуть в мой блог. Синглетное состояние обведено зеленым; тройные состояния выделены фиолетовым цветом: