Если невозможно доказать непротиворечивость аксиом ZFC, как мы можем с уверенностью сказать, что какие-либо математические теоремы доказаны?

Начнем ниже. Согласно теоремам о неполноте, PA (арифметика первого порядка) не может доказать собственную непротиворечивость. Должны ли мы беспокоиться о том, что PA непоследовательна? К счастью, нет: у нас есть более сильная система (ZFC), которая доказывает непротиворечивость PA. Но это не очень помогает — если вы сомневаетесь в согласованности PA, это просто означает, что вы также должны сомневаться в согласованности ZFC. На самом деле мы хотим сказать следующее: у нас есть очень веские основания полагать, что PA непротиворечива. А именно, мы много лет работаем с PA и не выявили несоответствий. И кажется, что аксиомы говорят вполне здравые вещи о классе объектов (натуральных числах), существование которых большинство из нас считает само собой разумеющимся.

Теперь подойдите к тому, кто сомневается в состоятельности ZFC. Я мог бы указать на какую-то более высокую систему (скажем, ZFC + «существует сильно недоступный кардинал»), которая доказывает непротиворечивость ZFC. Но опять же, это не поможет, поскольку, если вы сомневаетесь в непротиворечивости ZFC, вы сомневаетесь в непротиворечивости второй системы. Гораздо лучше сказать: мы давно работаем с ZFC и никаких несоответствий не обнаружили. И ZFC, кажется, говорит довольно здравые вещи о классе объектов (множеств), существование которых большинство математиков теперь считают само собой разумеющимся.

Они доказываются с неявным предположением аксиом ZFC.

Если рушится фундамент здания, рушится все здание.

К счастью, основы математики не работают таким образом: если завтра будет доказана несостоятельность ZFC, маловероятно, что девушка, работающая на кассе в моем местном магазине, будет беспокоиться о том, правильно ли суммируется сдача; или что студент, беспокоящийся о том, как интегрировать sin x, может теперь думать, есть ли у него ответ, отличный от того, что он дал вчера.

Не существует одного способа оправдать результаты; их целое множество; и они являются взаимооправдательными; это позиция, называемая когерентизмом .

Это уже произошло один раз в первые дни теории множеств: парадокс Рассела, который в конечном итоге был решен путем обхода этого.

Очень немногие теоремы математики могут быть доказаны «только» из аксиом ZFC.

Теоремы арифметики доказываются из аксиом Пеано, и тот факт, что эти аксиомы, в свою очередь, доказуемы из ZFC, ничего не добавляет к нашему «базовому» пониманию натуральных чисел.

То, что дает теория множеств в терминах «оснований», двояко:

• простой и единый язык, общий для (достаточно) всех математических теорий

• мощный способ построить модели для (достаточно) всех математических теорий.

Это второе «использование» теории множеств является той частью, которая может быть «философски сомнительной»:

если мы ищем какую-то «уверенность» в существовании системы натуральных чисел , тот факт, что мы можем предоставить модель аксиом натуральных чисел в ZFC, может только «сдвинуть» проблему на один шаг назад.

В любом случае, как и всякая математическая теория, основной интерес к теории множеств связан с ее собственным математическим содержанием.

Результат Гёделя применим к теориям, которые «включают» модель арифметики целых чисел, поэтому неполнота и вопросы непротиворечивости не должны применяться к тем теориям, которые не включают арифметику целых чисел.

Например, можно доказать, что евклидова геометрия полна и непротиворечива. К этому типу относятся и другие геометрии, например аксиомы Гильберта и аксиомы Тарского.

Это (очевидно) следует из того факта, что континуум R и, следовательно, плоскость R2 ^{геометрии} формализуемы как рекурсивно-перечислимая теория, которая не способна определить целые числа как действительные числа. Я не совсем понимаю детали этих результатов, но это то, что я читал.

Поэтому неправильно говорить, что «вся» математика имеет сомнительную последовательность.

@MoziburUllah прав, но это не так двусмысленно. По крайней мере, в последнее время.

С тех пор как мы начали останавливаться на своих корнях, математика действительно приняла несколько менее двусмысленную формулировку, чем когерентность, которую мы имели исторически. Нынешняя модель математики (наряду с основными формами, в которых преподается формальная логика) двойственна. На самом деле он включает только две позиции доказательства — дедукцию импликации через грамматику комбинации и построение «миров» или моделей через грамматику описания.

(Эти две позиции, наряду с различием между ними, восходят к Евклиду. Поэтому люди, которые хотят ограничить или свести к минимуму предположение о согласованности, могут легко просто игнорировать промежуточные позиции и заявлять, что они были просто ложной чепухой. Это то, что считают современные формалисты. делать.)

Непротиворечивость может быть недоступна через формальное построение, но реальная интуиция людей о достоверности или непротиворечивости основывается на моделях, а не на формальных доказательствах. Тогда с точки зрения, сосредоточенной главным образом на математике как психологии общей интуиции, мы действительно не верим в глубине души, что формальный язык — это то, что действительно доказывает вещи. Это всего лишь способ проверить себя, когда мы действуем в соответствии с другими нашими интуитивными представлениями, которые мы считаем надежными, пока не заходим в них слишком далеко.

С этой точки зрения мы можем взглянуть на урезанные «вселенные» V фон Неймана или L Геделя (или даже на «сюрреалистические числа» Конвея) и согласиться с тем, что наша система имеет модель. Тогда даже если наши формальные манипуляции в конечном счете не применимы непосредственно к изучаемым нами объектам, выбранная нами базовая модель действительно содержит нечто им изоморфное.

Таким образом, в любом случае, когда мы достаточно ясно о том, что мы говорим, чтобы четко определить изоморфизм, мы можем подтвердить, что то, что мы делаем, не будет иметь противоречия, отображая его интерпретацию обратно на выбранную нами базовую модель.

Это формалистский выход из крайней слабости формализма: утверждать, что математические утверждения «существуют только до изоморфизма», и игнорировать зависимость существования базовых моделей от интуиции.