Парадокс Рассела вынудил ограничить принцип естественной абстракции (что каждый предикат определяет множество), чтобы теория множеств могла быть последовательной; стандартный - ZF.
Однако паранепротиворечивость позволяет сохранить принцип естественной абстракции, допуская некоторую непоследовательность в логике, которая позволяет возродить наивную теорию множеств как полностью формальную. Он имеет положительное преимущество в доказательстве аксиомы выбора и опровержении континуум-гипотезы.
Теперь теорема Гёделя о неполноте говорит, что не может быть теории, которая была бы одновременно полной и непротиворечивой. Один должен быть сдан. Обычно это полнота. Но ввиду паранепротиворечивости от непротиворечивости можно отказаться.
Правильно ли тогда сказать, что паранепротиворечивая теория всегда будет полной?
Поскольку теория паранепротиворечива, вторая теорема Гёделя о невозможности доказать непротиворечивость теории теряет силу. (Или это так? Должен ли кто-то доказывать паранепротиворечивость?)
Паранепротиворечивые математические теории не всегда будут полными. В зависимости от того, что теория считает правдой, и силы ее дедуктивной системы, вполне могут быть недоказуемые истины. Я уверен, что вы уже знаете, что все паранепротиворечивые теории отказываются от ex falso quodlibet.(правило, позволяющее вывести что-либо из противоречия), а также принципы, которые его влекут (например, дизъюнктивный силлогизм: из «А или В» и «не-В» выводится «А»). Это означает, что несоответствия внутри этих теорий не будут «взорваться», позволяя доказать любое утверждение языка. Таким образом, паранепротиворечивость не является гарантией полноты. Однако признание несоответствия открывает дверь для возможности создания полной теории, классический аналог которой был бы по существу неполным. В качестве игрушечного примера паранепротиворечивая теория, которая сохраняет ex falso quodlibet (хотя на самом деле такая теория больше не будет паранепротиворечивой) в качестве допустимого вывода, будет тривиально полной (я полагаю, что это что-то вроде того, что вы имели в виду).
Что ж, многие интересные паранепротиворечивые теории не будут непротиворечивыми, поэтому эти теории определенно не смогут доказать собственную непротиворечивость — это было бы плохо. Я не совсем уверен, что еще вы имели в виду, но интересно отметить, что следствие Тарского из результатов Гёделя — Теорема Тарского о неопределимости — больше не представляет большой угрозы. Если вы посмотрите на связанную статью Шапиро (в «Дальнейшем чтении»), вы увидите, что теория, которую он развивает, является паранепротиворечивой арифметикой (точнее, диалетеистской арифметикой ; я подозреваю, что многие из ваших вопросов о паранепротиворечивых теориях действительно имеют в виду быть о диалетеистских или иным образом непоследовательных теориях), который содержит свой собственный предикат истины.
Статья SEP о противоречивой математике
Деннис