В «О том, как логика стала первопорядковой» Матти Эклунд пишет (стр. 2/148):
По-видимому, сегодня широко распространены аргументы Скулема и Курта Гёделя, предполагаемых сторонников тезиса о том, что стандартная логика первого порядка является «логикой» (или, если хотите, «истинной логикой» или «правильной логикой»; ниже Я скажу кое-что о том, к чему может привести предпочтение логики первого порядка в качестве «логики»), оказало заметное влияние на развитие логики первого порядка.
Кроме того, в книге Шапиро «Основания без фундаментализма» написано (стр. xiii):
Исторически главными сторонниками логики первого порядка были Скулем, фон Нейман, Вейль и Гёдель.
Где Гёдель утверждал, что логика первого порядка является «истинной» логикой? Высказывал ли он свое мнение на эту тему? Есть ли статья, в которой он описал свое мнение? Если нет: Тогда откуда мы знаем, что у него было такое мнение? Есть ли источники (интервью например)? Можете ли вы дать мне несколько ссылок?
(Меня также интересуют те же вопросы с заменой «Гёдель» на «Скулем». Но больше всего меня интересует Гедель)
Нигде не писал. Сама цитата лишь называет Гёделя и Скулема «предполагаемыми сторонниками», а позже в статье Эклунд замечает, что « (предполагаемое) свидетельство того, что Скулем придерживался логики первого порядка, состоит в том, что Скулем считал, что теории множеств и арифметике следует придавать значение первого порядка ». аксиоматизации, тогда как... свидетельством того, что Гёдель придерживался логики первого порядка, является (предполагаемый) факт, что Гедель настаивал на метаязыке первого порядка » (стр. 151), и продолжает оспаривать даже это ограниченное свидетельство. Он упоминает переписку Гёделя-Цермело 1931 года в качестве предполагаемого источника и отмечает, что « ни Мур, ни Шапиро не предоставляют нам какой-либо цитаты из переписки Гёделя-Цермело, показывающей, что Гёдель действительно настаивал на метаязыке первого порядка » . (стр. 158).
Господство логики первого порядка основано на технических результатах Скулема и Гёделя, а не на философских аргументах. Скулем доказал, что логика первого порядка имеет хорошую модельную теорию, Гёдель доказал, что она рекурсивно аксиоматизируема и, следовательно, имеет хорошую теорию доказательств (в отличие от логики более высокого порядка) и компактна (в отличие от логики бесконечности). В то же время теория множеств Цермело-Френкеля первого порядка (первого порядка сделал Скулем, который соответствующим образом модифицировал аксиому Цермело о понимании) оказалась более чем достаточной не только для всей классической математики, но даже для высшей теории множеств и теории моделей. С другой стороны, теории множеств более высокого порядка, подобные теории Рассела, оказались громоздкими. В конце концов Расселу пришлось ввести печально известную «аксиому сводимости», которая фактически сводит логику его теории множеств к первому порядку.
С 1950-х годов Куайн обычно отождествлял логику первого порядка с «языком науки», сам Эклунд упоминает его как оказавшего влияние. Что касается «истинной логики», как она понимается в философии, Гёдель утверждал совершенно противоположное. Что человеческое рассуждение не улавливается не только логикой первого порядка, но и любой формализованной логикой, и что результаты его неполноты являются указанием на это.
Ной Швебер