Логика релевантности более подробно рассматривает операцию импликации в логике первого порядка. Это предполагает, что такие последствия, как:
р, а не р -> q
не может держать; на обычном английском языке пример этого:
«Сократ — человек, а Сократ — не человек, поэтому столица Англии — Лондон».
Вывод, хотя и верный, кажется не относящимся к обсуждаемым предпосылкам.
Так вот, Мейер в 70-х годах просмотрел аксиомы Пеано (PA) в Relevance Logic и показал, что контра Гёделю она доказуемо непротиворечива.
Если доказательство непротиворечивости PA важно и жизненно необходимо, то нельзя ли сказать, что релевантное PA, возможно, является правильным PA? Или что, по крайней мере, PA первого порядка - это не тот PA, на который стоит смотреть?
Конечно, не все теоремы традиционных ПА выполняются в соответствующих ПА; но потеряно ли что-то существенное, скажем, в господствующей теории чисел или физике, а не экзотические внешние пределы того, что возможно в традиционной PA?
(Еще один способ исследовать этот результат в свете Гёделя — рассмотреть его теорему о том, что теория не может быть одновременно полной и непротиворечивой; если кто-то желает полноты, он должен принять несогласованность; и на самом деле релевантная логика паранепротиворечива).
«Утрачено ли что-то существенное» или недостатки системы Мейера заключаются в «экзотических внешних пределах того, что возможно в традиционных PA»?
PA доказывает, что формула, если p > 2 является простым, то существует натуральное число y , которое не является квадратичным вычетом по модулю p ; то есть,
∃y ∀z: ¬(y ≡ z^2 (mod p)).
Мне это кажется довольно неэкзотической частью теории чисел. Однако в системе Мейера это не удается. Плохие новости?
См. R. Meyer and H. Friedman, Whither Relevant Arithmetic?, JSL 1992, 824–831.
Я рекомендую статью: Б. Булдт, Область применения первой теоремы Гёделя о неполноте, журнал. Универс. 8 (2014), 499–552, особенно страницы 530–531.
Так вот, Мейер в 70-х годах просмотрел аксиомы Пеано (PA) в Relevance Logic и показал, что контра Гёделю они доказуемо непротиворечивы.
Австралазийский журнал логики недавно опубликовал специальный выпуск, посвященный работе Мейера над релевантной арифметикой R#. Среди прочего была опубликована статья Мейера «Непротиворечивость арифметики» ( https://ojs.victoria.ac.nz/ajl/article/view/6906 ), где было помещено доказательство непротиворечивости арифметики Пеано, которое было (по мнению Мейера) элементарно. Одним из его аргументов было то, что арифметика Пеано была подсистемой R#. Однако в 1992 году Харви Фридман доказал, что классическая арифметика Пеано не содержалась в релевантной арифметике R#, и это было провалом для видения Мейера относительно релевантной арифметики R# (см., например, сообщение Томаса Фергюссона в списке обсуждений FOM, https://cs. nyu.edu/pipermail/fom/2021-July/022757.). Следовательно, доказательство Мейера непротиворечивости арифметики Пеано, упомянутое выше, не отменяет второй теоремы Гёделя о неполноте.
Позвольте мне порекомендовать статью TJ Stępień, Ł. Т. Стемпень, «О непротиворечивости арифметической системы», Journal of Mathematics and System Science , vol. 7, 43 (2017), архив: 1803.11072. Опубликовано доказательство непротиворечивости арифметической системы (Пеано). Это доказательство было сделано фактически в рамках этой системы (реферат, относящийся к этой статье: Т. Дж. Степьен и Л. Т. Степьен, «О непротиворечивости арифметической системы Пеано», Бюллетень символической логики , т. 16, № 1, 132 (2010 г.). )).
Питер Смит
Мозибур Улла