Утверждение, являющееся доказуемым, очень отличается от того, что оно является несостоятельностью теории.

Если показано, что утверждение приводит к несоответствию, то вы можете использовать его для доказательства утверждений и их обратного утверждения, которые бросают тень на все утверждения в теории. Даже в этом случае вы не хотите отказываться от теории, а исследуете, что привело к доказуемости утверждения о гнилом яблоке, и, возможно, удаляете плохие аксиомы.

Если утверждение недоказуемо в какой-то теории, но многие другие утверждения доказуемы, то некоторые люди могут подумать, что «это отстой», но это не означает, что будет несоответствие. В противном случае мы бы знали, что арифметика будет непоследовательной. Таким образом, прибытие в этот момент вовсе не означает, что вы должны перестать заботиться об этой модели.

Поддерживают ли теоремы Гёделя о неполноте идею о том, что исследование «системы» следует проводить только для того, чтобы прийти к несоответствию?

Теория дифференциальных уравнений (со всеми ее гранями и связью с другими темами, такими как топология и вопросы чистого существования) явно включает в себя арифметические, а также гораздо более крупные математические проблемы, унаследованные от ее теоретической основы. Еще многое предстоит узнать о дифференциальных уравнениях, а решения по физике необходимы для создания вашего iPod. Следует ли исследовать «систему» ​​только для того, чтобы найти в ней несоответствия? Нет, если вы хотите новый iPod! Почему «исследование «системы»… должно предприниматься только для того, чтобы прийти к несоответствию»? Большинство людей занимаются математикой не ради математики.

На этой ноте я нахожу проблематичным то, что вы спрашиваете здесь о цели человеческой деятельности. Следствием обнаружения несоответствия является просто очередное утверждение о той или иной модели или подобных. Обычно используемое слово «недействительный» является странным в этом контексте (не путать с техническим термином, действительным в логике). Потому что есть несколько похожих теорий, с помощью которых вы выполняете арифметику и похожие на арифметику операции. Если что-то в «системе» верно, скажем, утверждение «2+3=5», а теория в целом оказывается неверной, я бы все равно использовал «2+3=5». Точно так же, если что-то ошибочно в конкретной логике или теории, это не подразумевает чего-либо относительно достоверности «того же самого» утверждения в других теориях, где «обоснованность»

Если утверждение недоказуемо, может или разовьется несоответствие или внутреннее противоречие, которое сделает систему недействительной.

Это не так.

Вы каким-то образом смешиваете первую и вторую теоремы о неполноте и делаете неверный вывод. Вкратце:

1. Первая теорема доказывает, что все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел, которые включают арифметику Пеано (или более сильную), включают неразрешимые предложения.

2. Вторая теорема доказывает, что никакая непротиворечивая аксиоматическая система, включающая арифметику Пеано (или более сильную), не может доказать свою непротиворечивость.

То, что аксиоматическая система может быть непоследовательной или нет, не имеет ничего общего с существованием неразрешимых предложений в этой системе. Непоследовательность и неполнота не связаны таким образом.

Одно из соотношений, которое действительно имеет место, заключается в следующем: любая противоречивая аксиоматическая система полна по принципу взрыва .

Должен ли приход в эту точку быть в центре внимания при проверке любой системы?

Я не вижу какой-либо конкретной причины, по которой это должно было бы иметь место, и не вижу, как теорема Гёделя дает какой-либо моральный императив относительно того, как следует относиться к системе или какие аспекты должны быть предметом исследования.

Лично я думаю, что хорошо, что такого императива не существует, поскольку некоторые системы (скажем, математические) невероятно полезны, и я бы не хотел, чтобы их изучение подвергалось ненужным ограничениям.