Объем параллелепипеда p2p2p_2, натянутого на диагонали граней другого параллелепипеда p1p1p_1, вдвое больше объема p1p1p_1.

Я хотел бы чисто геометрически (без обращения к точечному и перекрестному векторному произведению) доказать следующее:

Объем параллелепипеда п 2 натянутый на диагонали граней другого параллелепипеда п 1 в два раза больше объема п 1 , т.е. В п 2 "=" 2 В п 1 .

Утверждение легко следует из определения:

Позволять а → , б → , с → — векторы сторон с одним началом в вершине параллелепипеда п 1

В п 2 "=" ( б → + с → ) ⋅ ( ( а → + с → ) × ( а → + б → ) ) "=" ( б → + с → ) ⋅ ( а → × а → ⏟ "=" 0 + а → × б → + с → × а → + с → × б → ) "=" б → ⋅ ( а → × б → ) ⏟ "=" 0 + б → ( с → × а → ) + б → ⋅ ( с → × б → ) ⏟ "=" 0 + с → ⋅ ( а → × б → ) + с → ⋅ ( с → × а → ) ⏟ "=" 0 + с → ⋅ ( с → × б → ) ⏟ "=" 0

Очевидно с → ⋅ ( а → × б → ) "=" с → ⋅ ( ( а → + с → ) × ( а → + б → ) ) , поэтому определитель не изменится при добавлении этих строк, т. е.

| с 1 с 2 с 3 а 1 а 2 а 3 б 1 б 2 б 3 | "=" | с 1 с 2 с 3 а 1 + с 1 а 2 + с 2 а 3 + с 3 а 1 + б 1 а 2 + б 2 а 3 + б 3 | .
Это означает, что объем останется прежним, пока новый параллелепипед натянут хотя бы на одну сторону прежнего вектора.

Мы можем интерпретировать это так: пусть А Б С Д Е Ф г ЧАС — произвольный параллелепипед и пусть

а → "=" А Б → б → "=" Б С → "=" А Д → с → "=" А Е → а → + б → "=" А С → б → + с → "=" А ЧАС → .

Позволять я е С Д ул. С я → "=" а → тогда площадь параллелограмма А Б я С натянутые на векторы а → и а → + б → равна площади параллелограмма А Б С Д натянутые на векторы а → , б → .

Далее, пусть Дж , К быть точками s .t. А Б → "=" я Дж → "=" С К → .

Тогда параллелепипеды А Б С Д Е Ф г ЧАС и А Б я С ЧАС г Дж К имеют равные высоты и основания, а значит, и равные объемы.

Пусть точки л , М , Н лучший Н л → "=" А ЧАС → "=" Б г → .

Затем А С К ЧАС ≅ Б я Дж г ≅ Ф Н л М .

Картина:введите описание изображения здесь

Однако я не знаю, как продолжить доказывать объем А Ф М ЧАС С Н л К вдвое превышает объем А Б я С ЧАС г Дж К .

Можно попросить совета по решению этой задачи?

Заранее спасибо!

Ответы (2)

Вот начало более чисто геометрического доказательства:

Поместите начало координат в одну вершину и измените координаты так, чтобы параллелепипед стал единичным кубом. Вы можете сделать это, выбрав три ребра в начале координат в качестве базисных векторов.

Это изменение координат одинаково масштабирует все объемы, поэтому сохраняет интересующую вас пропорцию.

Для единичного куба диагонали граней равны ( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) и ( 1 , 1 , 0 ) . Определяемый ими параллелепипед имеет объем 2 потому что якобиан изменения преобразования координат в эту систему координат является определителем

0 1 1 1 0 1 1 1 0 "=" 2.

@ChristianBlatter Теперь есть аргумент в пользу этого. Спасибо.

Вы использовали формулу ты → ⋅ ( в → × ж → ) для объема параллелепипеда, натянутого на ты → , в → , и ж → . Именно так вы рассчитали объем п 2 . Таким образом, в окончательном выражении для В п 2 вы можете узнать термины б → ⋅ ( с → × а → ) и с → ⋅ ( а → × б → ) как объем В п 1 , что должно завершить доказательство.

Обратите внимание, что тройное произведение инвариантно относительно циклической перестановки, поэтому оба эти выражения равны а → ⋅ ( б → × с → ) . Это должно иметь смысл, потому что порядок, в котором мы называем три ребра параллелепипеда, пересекающиеся в вершине, не должен иметь значения, пока ориентация одинакова. В качестве альтернативы вы также можете понять это из того факта, что определители инвариантны относительно циклической перестановки строк.

Спасибо за ваш ответ, я просто пропустил этот шаг, чтобы продолжить свою мысль... 😅 Я ценю ваш ответ!
@Invisible О, понятно. Извините, я мог случайно пропустить «чисто геометрическую» часть вашего вопроса: P
Объем параллелепипеда p2p2p_2, натянутого на диагонали граней другого параллелепипеда p1p1p_1, вдвое больше объема p1p1p_1.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v