Есть ли возможный геометрический метод, чтобы найти длину этого равностороннего треугольника?

Question

Есть ли возможный геометрический метод, чтобы найти длину этого равностороннего треугольника?

векторы
геометрия
Математика
аналитическая геометрия
евклидова геометрия
геометрическое преобразование

Алекс4814

Проблема Учитывая, что $AD \parallel BC$ , $|AB| = |AD|$ , $\angle A=120^{\circ}$ , $E$ это середина $AD$ , точка $F$ лежит на $BD$ , $\triangle EFC$ является равносторонним треугольником и $|AB|=4$ , найти длину $|EF|$ .

Попытка На первый взгляд я подумал, что ее можно решить геометрическим методом. Я рассматривал закон синусов/косинусов , подобные треугольники , теорему Пифагора , даже теорему Менелая , однако получил свойства, которые ничего не давали для вычислений. $|EF|$ .

Что у меня получилось после того, как я нарисовал линию, перпендикулярную $BC$ через $E$

$\triangle ABH$ и $\triangle AHD$ оба являются равносторонними треугольниками длины 4.
$\triangle EFD \sim \triangle GEH$
$|EH|=2\sqrt{3}$

Алгебраический метод В конце концов, я передумал заниматься алгеброй. Я обнаружил, что это легко координировать $E,A,B,D$ и $C$ относится к $F$ (вращение) и $B$ (та же горизонтальная линия). Делать $E$ как происхождение, $AD$ указывает на $x$ -ось, $HE$ указывает на $y$ -ось, мы получили

$E = (0,0)$
$A = (-2,0)$
$B = (-4,-2\sqrt{3})$
$D = (2,0)$

Точка $(x, y)$ в соответствии $BD$ имеет $y=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2)$ . Предполагать $F=(x_0,y_0)$ , $C=(x_1,y_1)$ , мы можем получить $C$ путем вращения $F$ вокруг оси $E$ $60^{\circ}$ против часовой

[\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ у_{1} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} потому что θ & - грех θ \\ грех θ & потому что θ \end{matrix}] [\begin{matrix} {Икс}_{0} \\ у_{0} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix}$ , также мы знаем, что

B C

$BC$ параллельно

x

$x$ -ось, то

\begin{aligned} у_{1} & "=" грех 60^{\circ} {Икс}_{0} + потому что 60^{\circ} у_{0} \\ "=" грех 60^{\circ} {Икс}_{0} + потому что 60^{\circ} \frac{1}{\sqrt{3}} ({Икс}_{0} - 2) \\ "=" - 2 \sqrt{3} \end{aligned}

$\begin{align*} y_1 & = \sin{60^{\circ}} x_0 + \cos{60^{\circ}} y_0 \\ & = \sin{60^{\circ}} x_0 + \cos{60^{\circ}} \frac{1}{\sqrt{3}}(x_0-2) \\ & = -2\sqrt{3} \end{align*}$ , таким образом

F = (- \frac{5}{2}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})

$F=(-\frac{5}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$ , и наконец

| E F | = \sqrt{13}

$|EF|=\sqrt{13}$

Мысли после слов Я заметил, что $F$ (через его координату) на самом деле является серединой $BK$ . Это может быть ключевой момент в геометрическом методе, но я также не могу его доказать.

График я сделал в GeoGebra, и им поделились. Пожалуйста, перейдите и отредактируйте его, чтобы сэкономить ваше время, если у вас есть какие-либо идеи. Ссылка: https://www.geogebra.org/graphing/yqhbzdem

Ответы (5)

Есть ли возможный геометрический метод, чтобы найти длину этого равностороннего треугольника?

непользователь · Answer 1

С

∠ Е Д Ф "=" \frac{1}{2} ∠ Ф С Е

$\angle EDF = {1\over 2}\angle FCE$ Мы видим, что

D

$D$ находится на окружности с центром в

C

$C$ и радиус

C E = C F

$CE =CF$ так

C D = C E

$CD=CE$ .

Если $M$ находится в середине $ED$ у нас есть

С Е^{2} "=" М Е^{2} + С М^{2} "=" 1 + А г^{2} "=" 13

$CE^2 = ME^2+CM^2 = 1+AG^2 = 13$

так $CE = \sqrt{13}$ .

Я думаю, что условие " $\angle EDF = {1\over 2}\angle FCE$ " НЕ является достаточно сильным, чтобы гарантировать, что D лежит на той же окружности с центром в C и радиусом = CF.
Хотя бы объясните, почему первое утверждение верно. Объяснение заботится о том, чтобы перечислить очевидное равенство радиусов, но даже не объясняет логику круга.
Да только что это не так. Но если вы читаете дальше, вы видите $CF=CE$ ! @Мик @C Перкинс
Нет вопроса о CF = CE. Дело в том, что обратное «угол в центре = удвоенный угол на окружности» не обязательно верно.
Это проясняет одну вещь. Еще одно требование, о котором мы должны сказать, это то, что C и D должны быть на одной стороне линии EF, но исходная диаграмма ясно показала, что это так.

Мёнхён Сонг · Answer 2

Позволять $P$ быть перпендикулярной стопой $E$ к $BD$ . Мы находим, что $|EP|=\sin(\angle EDP )\cdot|ED|=1$ . Мы также находим, что
$\triangle EPF$ соответствует $\triangle CHE\$ подразумевая, что

| Е п | "=" | С ЧАС | "=" 1.

$|EP|=|CH|=1.$ По теореме Пифагора следует

| Е С |^{2} "=" | Е ЧАС |^{2} + | С ЧАС |^{2} "=" 13,

$|EC|^2 =|EH|^2 +|CH|^2 =13,$ то есть

| Е Ф | "=" | Е С | "=" \sqrt{13} .

$|EF|=|EC| =\sqrt{13}.$

@TheGreatDuck Я добавил фигурку. Я надеюсь, это поможет.
Это имеет смысл (+1), но было бы лучше, если бы на диаграмме не было так много ненужных точек и линий. CD бесполезен, но отвлекает, хотя и упоминается в задаче, а точки пересечения I, J, K, L, M, N, O совершенно не важны.
@HenningMakholm Спасибо за предложение, сэр. Я обновил фигуру. надеюсь это лучше..

Майкл Розенберг · Answer 3

Мне нравится следующий способ.

Позволять $\vec{AB}=\vec{a}$ , $\vec{AD}=\vec{b}$ , $\vec{BF}=p\vec{BD}$ и $\vec{BC}=k\vec{AD}.$

Таким образом,

\vec{Ф Е} "=" - п (- \vec{а} + \vec{б}) - \vec{а} + \frac{1}{2} \vec{б} "=" (п - 1) \vec{а} + (\frac{1}{2} - п) \vec{б}

$\vec{FE}=-p(-\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}=(p-1)\vec{a}+\left(\frac{1}{2}-p\right)\vec{b}$ и

\vec{Ф С} "=" - п (- \vec{а} + \vec{б}) + к \vec{б} "=" п \vec{а} + (к - п) \vec{б} .

$\vec{FC}=-p(-\vec{a}+\vec{b})+k\vec{b}=p\vec{a}+(k-p)\vec{b}.$

Теперь мы получаем следующую систему:

| \vec{Ф Е} | "=" | \vec{Ф С} |

$|\vec{FE}|=|\vec{FC}|$ и

\frac{\vec{Ф Е} \cdot \vec{Ф С}}{| \vec{Ф Е} | | \vec{Ф С} |} "=" \frac{1}{2}

$\frac{\vec{FE}\cdot \vec{FC}}{|\vec{FE}||\vec{FC}|}=\frac{1}{2}$ с переменными

p

$p$ и

k

$k$ .

Мы можем решить эту систему, а остальное гладко.

Интеллигенти паука · Answer 4

Позволять $\alpha=\angle DEC$ . Мы можем применить закон синусов к треугольнику $FED$ :

\frac{Е Д}{грех (90 ° - α)} "=" \frac{Е Ф}{грех 30 °} "=" \frac{Ф Д}{грех (α + 60 °)},

${ED\over\sin(90°-\alpha)}={EF\over\sin30°}={FD\over\sin(\alpha+60°)},$ то есть:

Е Ф "=" \frac{1}{потому что α} и Ф Д "=" \frac{2}{потому что α} грех (α + 60 °) .

$EF={1\over\cos\alpha}\quad\text{and}\quad FD={2\over\cos\alpha}\sin(\alpha+60°).$ Применяя затем закон синусов к треугольнику

B F C

$BFC$ один получает:

Ф Б "=" \frac{2}{потому что α} грех (α - 60 °) "=" 4 \sqrt{3} - Ф Д "=" 4 \sqrt{3} - \frac{2}{потому что α} грех (α + 60 °) .

$FB={2\over\cos\alpha}\sin(\alpha-60°)=4\sqrt3-FD=4\sqrt3-{2\over\cos\alpha}\sin(\alpha+60°).$ Отсюда следует

\tan α = 2 \sqrt{3}

$\tan\alpha=2\sqrt3$ и

E F^{2} = 1 / \cos^{2} α = 1 + \tan^{2} α = 13

$EF^2=1/\cos^2\alpha=1+\tan^2\alpha=13$ .

Мэтт · Answer 5

Это можно решить в своем воображении. Требуется много слов, чтобы описать это, но вам не нужны эти слова, когда вы представляете это.

Представьте, что вы двигаетесь $F$ туда и обратно вдоль $BD$ , удерживая $E$ исправлено, так что $C$ (определяется как третья точка равностороннего треугольника) перемещается. $C$ всегда представляет собой поворот на 60° против часовой стрелки $F$ (вращение вокруг $E$ ), поэтому множество точек, посещенных $C$ представляет собой поворот на 60° против часовой стрелки $BD$ (вокруг $E$ ). Так $C$ движется вертикально. Когда $F$ Я сидел $D$ , то равносторонний треугольник мал и $C$ находится выше середины $DE$ . Итак, мы видим, что $C$ всегда лежит на серединном перпендикуляре $DE$ .

Теперь вернемся к диаграмме, как показано на рисунке. Расстояние между $AD$ и $BC$ является $\sqrt{4^2-2^2=12}$ , а так как половина $ED$ равно 1, у нас есть EF $\;=\;$ ЕС $\;=\sqrt{12+1^2=13}$ .

Вы также можете двигаться $C$ вдоль $BC$ , и увидишь, что $F$ должен лежать на 60° вращения по часовой стрелке $BC$ , где это пересекается $BD$ . Работать с этой информацией немного сложнее, но если вы нарисуете изображение на треугольной сетке (где треугольники имеют длину стороны 1), то повернутый $BC$ является линией сетки, и все точки в задаче являются точками сетки.

Есть ли возможный геометрический метод, чтобы найти длину этого равностороннего треугольника?

Алекс4814

Ответы (5)

непользователь

Майкл Розенберг

Мик

С Перкинс

непользователь

Мик

непользователь

Мик

Мёнхён Сонг

Мёнхён Сонг

хмахольм ушел за Монику

Мёнхён Сонг

хмахольм ушел за Монику

Майкл Розенберг

Интеллигенти паука

Мэтт

Мэтт

Если P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 лежат на окружности x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1, то докажите, что P4P4P_4 лежит на окружности.

Объем параллелепипеда p2p2p_2, натянутого на диагонали граней другого параллелепипеда p1p1p_1, вдвое больше объема p1p1p_1.

Данное геометрическое место является окружностью, докажите, что две прямые перпендикулярны

Для двух различных пересекающихся окружностей длина той хорды большей окружности, которая делится пополам меньшей окружностью, равна?

Каково значение меры отрезка MNMNMN?

Нахождение длин сторон трапеции по расстоянию между ее диагональным пересечением и серединой диагонали

Доказательство того, что центр описанной окружности лежит на высоте

Геометрическое место центроида треугольника, когда одна вершина движется по окружности

Периметр равностороннего треугольника, проведенного относительно квадрата.