Если S-матрица имеет группу симметрии GGG, должны ли поля быть представлениями GGG?

Если поля в КТП являются представлениями группы Пуанкаре (или, вообще говоря, интересующей группы симметрии), то я думаю, что это прямое следствие того, что матричные элементы и, следовательно, наблюдаемые также инвариантны.

А как насчет обратного:

Если я хочу, чтобы матричные элементы моей теории поля были инвариантными скалярами, как мне показать, что это подразумевает, что мои поля должны быть соответствующими представлениями?

Как это связано с теорией S-матрицы?

Ответы (2)

Формулировка вопроса (v2), кажется, смешивает понятия инварианта и коварианта, что, по сути, также является основным моментом ответа пользователя 1504 (v1) .

Допустим, у нас есть группа г . Группа г может быть, например, конечной группой или группой Ли. Когда мы говорим, что теория инвариантна относительно г , это обычно подразумевает как минимум две вещи.

  1. Группа г действует на теорию. Это, в частности, означает, что существует четко определенный заданный рецепт того, как составляющие теории изменяются под действием группы. Часто в физике (но не всегда) бывает, что групповое действие реализуется линейно, т.е. поля, матричные элементы и другие объекты образуют линейные представления группы г . На этом этапе представления могут быть приводимыми или неприводимыми, конечномерными или бесконечномерными. Тогда соответствующий объект ведет себя ковариантно (не обязательно инвариантно) под действием группы. Если представление полностью приводимо, мы можем разложить его на непредставления.

    • В случае рецептуры без оболочки: Действие С вне оболочки инвариантен относительно группы г . Или, выражаясь эквивалентно, действие С образуют тривиальное представление группы.
    • В случае формулировки на оболочке: уравнения движения ведут себя ковариантно относительно группы г .

Уточнение. Рон Маймон делает в комментарии важное замечание, что если существует иерархия , скажем, из двух теорий, и если групповое действие априори определено только в меньшей теории, то групповое действие г не обязательно должно оказывать четко определенное воздействие на большую теорию. Например,

    • Маленькая теория = готовая формулировка;
    • Большая теория = нестандартная формулировка.
    • Маленькая теория = минимум С - матричная формулировка;
    • Большая теория = базовая теоретико-полевая формулировка.
    • Малая теория = формулировка калибровочно-инвариантного физического подпространства/подмногообразия/фазового пространства;
    • Большая теория = формулировка BRST-расширенного пространства/многообразия/фазового пространства.
+1 за нелинейный, но я не думаю, что вопрос задавался о линейной и нелинейной реализации --- я думаю, он спрашивал, можете ли вы иметь симметрию S-матрицы (наблюдаемых), которая не является очевидной симметрией полей в одной точке пространства-времени. Я не понимаю, почему бы, по крайней мере классически, не игнорировать перенормировку --- что, если симметрия совершенно неочевидна на полях?
Вы знаете, как выглядит контрпример? Думаю, кто-нибудь попробует эти штуки.
@NickKidman: Я только что пытался привести контрпример — идея состоит в том, чтобы использовать супернелокальный лагранжиан, где симметрия обязательно смешивает поля в далеких точках, как нелинейная симметрия, реализованная в импульсном пространстве. Это смешивает пространство-время и внутреннюю симметрию и, таким образом, нарушает, по крайней мере, дух Коулмана-Мандулы, поэтому он должен иметь непрерывный спектр при нулевом импульсе, или протяженные объекты, или несостоятельность аналитичности (из-за отсутствия локальности) или что-то еще, что нарушает предположения Коулмана-Мандулы. .

Поля не являются «представлениями группы Пуанкаре». Поля — во всяком случае, некоторые поля, такие как скалярные и спинорные поля Дирака (калибровочные поля более сложны) — принимают значения в векторных пространствах, которые являются представлениями группы Лоренца. Это не гарантирует, что наблюдаемые являются «инвариантными»; наблюдаемые могут и меняют свои значения, когда вы действуете по симметрии. Вращение вверх может измениться на вращение вниз, если вы перевернете свою систему координат с ног на голову.

Такого рода путаница возникает из-за небрежных обозначений в сообществе физиков-теоретиков. Изучите немного теории репрезентации, ради справедливости.

Хорошо, хорошо, спасибо за замечание по первому пункту, даже если я думаю, что это не сильно влияет на вопрос. У меня сложилось впечатление, что все поле представляет собой представление, даже если оно бесконечно. Во-вторых, что касается примера "Spin up", мы все еще говорим об амплитудах, т.е. о матричных элементах?
Это не очень хороший ответ: поле в одной точке является представлением группы Лоренца, но значения поля во всех точках являются представлениями группы Пуанкаре — переводы перемещают точки.
@Ник. Спин вверх и вниз используется для обозначения компонентов спиноров Дирака. Эти компоненты действительно отображаются в матричных элементах.
@ user1504: Если компоненты спиноров не равны некоторым скобкам / матричным элементам, то они не являются наблюдаемыми, верно?
@Nick: Рассмотрим матричный элемент одного спинора Дирака между вакуумом и состоянием одной частицы.
@ user1504: Ммм, я не знаю, как это вычислить, если вы подразумеваете, что результатом является значение спинорного коэффициента.
Если S-матрица имеет группу симметрии GGG, должны ли поля быть представлениями GGG?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v