Правила трансформации суперзарядки

Учитывать${\cal N}=2$суперсимметрия с$SU(2)$глобальная группа симметрии. Затем оба наддува$Q_{ai},\bar{Q}_{\dot{a}\dot{j}}$преобразовать с помощью двумерного представления$SU(2)$. Обозначать$SU(2)_I$как вышеупомянутая группа.

Теперь рассмотрим квартиру$R^4$с вращением$Spin(4)\cong SU(2)_L\times SU(2)_R$. Тогда суперзаряды трансформируются как$(2,1,2)\oplus (1,2,2)$соответственно. Я предполагаю, что в этой части мы имеем в виду евклидову теорию поля.

Учитывать$SU(2)_L\times SU(2)_D\cong Spin(4)\subset SU(2)_L\times SU(2)_R\times SU(2)_I$где$SU(2)_D$обозначает диагональную часть$SU(2)_R\times SU(2)_I$.

Теперь в книге говорится, что суперзаряды трансформируются как$(2,2)\oplus (1,3)\oplus(1,1)$под$SU(2)_L\times SU(2)_D$.

Я буду обесценивать тривиальные представления.$(2,2)$должно соответствовать$Q_{ai}$часть. Кажется, что$(1,3)\oplus (1,1)$представляет собой смесь$\bar{Q}_{\dot{a}\dot{j}}$как$1/2\otimes 1/2=1\oplus 0$где$1/2,1,0$обозначают полный спин.

$\textbf{Q:}$Верно ли выше? Кажется, что у меня нет систематического способа справиться с этим расщеплением. Каким должен быть систематический способ борьбы с этим?