О конечномерных унитарных представлениях некомпактных групп Ли

Предложение . Позволять$G$— связная некомпактная группа Ли, являющаяся полупростой группой Ли и

$$U: G \ni g \mapsto U_g \in B(H)$$ ($B(H)$множество ограниченных операторов$A:H \to H$) непрерывное унитарное представление над конечномерным гильбертовым пространством$H$. Имеют место следующие факты.

(а) $U$не может быть верным.

б) если$G$является простой группой или, в более общем случае, если$G$не содержит нетривиальных собственных нормальных замкнутых подгрупп, то$U$является тривиальным представлением$U : G \ni g \mapsto I$.

Примечания

(1) Обратите внимание, что никаких гипотез о (не)сводимости представления не делается.

(2) Теорема применима к простой группе Ли$SO(1,3)_+$поскольку она некомпактна, связна и не содержит нетривиальных замкнутых нормальных подгрупп: ее сильно непрерывные унитарные представления бесконечномерны или тривиальны.

(3) Тот же результат справедлив для$SL(2,\mathbb C)$, которое некомпактно и связно, но не просто. Действительно,$\{\pm I\}$единственная нетривиальная собственная нормальная замкнутая подгруппа группы$SL(2,\mathbb C)$. Конечномерное непрерывное унитарное представление$U : SL(2, \mathbb C) \to B(H)$не может быть верным по (а). Поэтому замкнутая нормальная подгруппа$U^{-1}(I)$не может быть тривиальным и поэтому совпадает либо с$SL(2,\mathbb C)$, изготовление$U$тривиально, или с$\{\pm I\}$. Рассмотрим эту вторую возможность и докажем, что$U$должно быть тривиальным и в этом случае. Как известно, группа Ли$SL(2,\mathbb C)$является универсальным накрытием группы Ли$SO(1,3)_+$, и$\{\pm I\}$является всего лишь ядром накрывающего гомоморфизма, поэтому$SO(1,3)_+$диффеоморфен$SL(2,\mathbb C)/\{\pm I\}$. Легко доказать, что, следовательно,$U : SL(2, \mathbb C) \to B(H)$определяет конечномерное непрерывное унитарное представление

$$U' : SO(1,3)_+ \ni \pm A \:\mapsto U_A \:\in B(H)\:.$$ Представительство $U'$должно быть тривиальным в силу (b). По очереди, $U$также должно быть тривиальным, потому что $U'(SO(1,3)_+)=U(SL(2,\mathbb C))$и $U'(SO(1,3)_+)= \{I\}$.

Доказательство предложения .

Давайте определим$H$с$\mathbb C^n$с помощью ортонормированного базиса. Таким образом, представление$U$можно рассматривать как инъективный непрерывный гомоморфизм групп$f : G \to U(n)$.

а) Наша конечная цель — доказать, что$f(G)$является компактным вложенным подмногообразием$U(n)$и что инъективный гомоморфизм$f: G \to f(G)$на самом деле является гомеоморфизмом. Это невозможно, потому что$G$не является компактным по условию.

По известным теоремам о группах Ли$f$является дифференцируемым (аналитическим) и$df|_e$является гомоморфизмом алгебр Ли, который является инъективным, если$f$является верным (поскольку ядро$f$дискретная подгруппа$\{e\}$). При условии, что$f$инъективен (т.е.$U$является точным), рассмотрим подалгебру Ли$a := df|_e T_eG \subset u(n)$где$u(n)$является алгеброй Ли$U(n)$. С$df|_e$инъективен,$a$изоморфен$T_eG$. Существует ровно одна связная подгруппа Ли$K \subset U(n)$чья алгебра Ли$a$в силу известной теоремы. По определению подгруппы Ли$K$является погруженным подмногообразием$U(n)$. Однако поскольку эта подгруппа имеет полупростую алгебру Ли, из теоремы 14.5.9 из [1] следует, что она замкнута в U(n) и, следовательно, является вложенным подмногообразием как следствие теоремы Картана.

Должно быть ясно, что$f(G) \cap K$содержит все однопараметрические подгруппы$U(n)$порожденные элементами$a$потому что эти подгруппы одновременно находятся в$K$И в$f(G)$, в чем читатель может убедиться немедленно. С другой стороны, каждый элемент$h\in K$является конечным произведением элементов, принадлежащих однопараметрическим подгруппам группы$K$и поэтому$h$также является конечным произведением элементов$f(G)$. С$f$является групповым гомоморфизмом, каждый элемент$h\in K$удовлетворяет$h\in f(G)$. Мы пока установили, что$K= f(G)$. Карта$f: G \to K$является биективным дифференцируемым отображением из многообразия$G$к вложенному подмногообразию$K$из$U(n)$. С$df|_g = dL_{g^{-1}} \circ df|_e \circ d R_{g}$где$R_g : G \ni h \mapsto hg \in G$и$L_k : U(n) \ni r \mapsto kr \in U(n)$являются диффеоморфизмами, поэтому оба$dL_{g^{-1}}$и$d R_g$являются биекциями, мы заключаем, что$df|_g$всюду инъективен. Как следствие, если$p=\dim G$и$q=\dim U(n)\geq p$, то для любого графика$(S_g,\phi)$вокруг любого$g \in G$есть какая-то диаграмма$(V_g,\psi)$в$U(n)$вокруг$f(g)$с

$$\psi \circ f \circ \phi^{-1}(x^1,\ldots, x^p) = (x^1,\ldots, x^p, 0,\ldots, 0)$$ где $(x^1,\ldots, x^p)$принадлежит открытому множеству $\phi(V_g) \subset \mathbb R^q$. С $f(G)= K$является вложенным подмногообразием $U(n)$, у нас есть это $V_g \cap f(G)= f(S_g)$возможно ограничение $V_g$вокруг $f(g)$. Другими словами $f(S_g)$открыто в индуцированной топологии $f(G)\subset U(n)$. С $g\in G$произвольно, а свойство выполняется заменой $S_g$с любым меньшим открытым набором, содержащим $g$, инъективность $f$доказывает, что $f: G \to K= f(G)$открыто: каждое открытое множество $A\subset G$является объединением открытых множеств $A = \cup_{g\in G} A \cap S_g$; с $f$биективен на $K$у нас тоже есть такое $f(A)= \cup_{g\in G}f(A \cap S_g)$, который открыт из-за объединения открытых множеств. Обратное $f^{-1}: K \to G$который, опять же, существует, потому что $f$биективен на $K$, следовательно, непрерывна. $K$замкнут и, следовательно, компактен ( $U(n)$компактен). Это невозможно, потому что $f^{-1}(K) = G$не компактно по предположениям и $f^{-1}$является непрерывной функцией. Мы заключаем, что $f: G \to U(n)$не может быть инъективным, т. $U: G \to B(H)$не может быть верным.

б) если$G$не содержит нетривиальных собственных замкнутых нормальных подгрупп, нормальная замкнутая подгруппа$U^{-1}(I)$из$G$должен равняться либо$G$или$\{e\}$. Во втором случае$U$будет верным, что не допускается пунктом (а). Подводя итог,$U^{-1}(I) = G$так что$U(G)=\{I\}$. КЭД

[1] Хильгерт, Дж., Ниб, К.-Х.: Структура и геометрия групп Ли. Спрингер, Нью-Йорк (2013).