Если закон Ампера подразумевает закон Био-Савара, который подразумевает закон Гаусса для магнетизма, значит ли это, что уравнения Максвелла избыточны?

Question

Если закон Ампера подразумевает закон Био-Савара, который подразумевает закон Гаусса для магнетизма, значит ли это, что уравнения Максвелла избыточны?

Физика
закон Гаусса
электромагнетизм
уравнения Максвелла

Маттиа Ф.

Изучая электромагнетизм, я наткнулся на следующий факт:

Третье уравнение Максвелла (дивергенция магнитного поля равна нулю) может быть получено из закона Био-Савара.
Закон Био-Савара можно вывести из закона Максвелла-Ампера.

Следовательно, кажется, что четыре уравнения избыточны.

К сожалению ничего не нашел по этому поводу, поэтому и спрашиваю: это правда?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Для полноты это доказательство третьего уравнения (в основном это доказательство Гриффита):

\begin{array}{rcl} \vec{Б} (р) & "=" & ∭_{К} \frac{{мю}_{0} я}{4 π} \frac{\vec{Дж} \times \vec{р}}{р^{3}} г т^{'} \\ "=" & ∭_{К} \frac{{мю}_{0} я}{4 π} \vec{Дж} \times \nabla (- \frac{1}{р}) г т^{'} \end{array}

$\begin{eqnarray} \vec{B}(r) &=& \iiint_K \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{\vec{j} \times \vec{r}}{r^3} d\tau'\\ &=& \iiint_K \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \ \vec{j} \times \nabla\left(-\frac{1}{r}\right) d\tau' \end{eqnarray}$ Применяя дивергенцию к обоим терминам, мы получаем:

\begin{array}{rcl} див \vec{Б} & "=" & \frac{{мю}_{0} я}{4 π} ∭_{К} див (\vec{Дж} \times \nabla (- \frac{1}{р})) г т^{'} \\ "=" & \frac{{мю}_{0} я}{4 π} ∭_{К} \nabla \times \vec{Дж} \cdot \nabla (- \frac{1}{р}) - \vec{Дж} \cdot \nabla \times \nabla (- \frac{1}{р}) г т^{'} \\ "=" & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{div} \vec{B} &=& \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \iiint_K \text{div} \left(\vec{j} \times \nabla\left(-\frac{1}{r}\right)\right) d\tau'\\ &=& \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \iiint_K \nabla \times \vec{j} \cdot \nabla\left(-\frac{1}{r}\right) - \vec{j} \cdot \nabla \times \nabla\left(-\frac{1}{r}\right) d\tau' \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

Последний член равен нулю, поскольку ротор градиента всегда равен нулю, а дивергенция $\vec{j}$ равен нулю ( $\vec{j}$ зависит только от заштрихованных координат).

И это вывод закона Био-Савара из закона Максвелла-Ампера: получен ли закон Био-Савара эмпирически или его можно вывести?

my2cts

Пожалуйста, покажите детали вашего доказательства.

Маттиа Ф.

Я добавил доказательства/ссылки.

Эрик Думинил

С вашим определением «избыточности» любая математическая теорема избыточна. Все, что вам нужно, это аксиомы.

Маттиа Ф.

Я не совсем это имел в виду. Уравнения Максвелла в определенном смысле являются аксиомами теории электромагнетизма, поэтому мой вопрос заключался в том, может ли одна из аксиом быть выведена из других аксиом (так что на самом деле это будет теорема).

Ответы (2)

Если закон Ампера подразумевает закон Био-Савара, который подразумевает закон Гаусса для магнетизма, значит ли это, что уравнения Максвелла избыточны?

Пожалуйста, покажите детали вашего доказательства.
Я добавил доказательства/ссылки.
С вашим определением «избыточности» любая математическая теорема избыточна. Все, что вам нужно, это аксиомы.
Я не совсем это имел в виду. Уравнения Максвелла в определенном смысле являются аксиомами теории электромагнетизма, поэтому мой вопрос заключался в том, может ли одна из аксиом быть выведена из других аксиом (так что на самом деле это будет теорема).

Торондор · Answer 1

Поскольку в законе Био-Савара нет термина магнитного заряда, он верен только в том случае, если закон Гаусса для магнетизма ( $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ ) верно и магнитных монополей нет. Поэтому логично, что закон Гаусса можно вывести из закона Био-Савара.

Однако закон Био-Савара не может быть выведен из закона Максвелла-Ампера без неявного принятия закона Гаусса. В общем, мы знаем это как из-за отсутствия члена магнитного заряда, так и потому, что, как указал Джорджио, завиток и дивергенция векторного поля являются независимыми величинами. Конкретная проблема с приведенным вами доказательством заключается в том, что оно предполагает, что непрерывный векторный потенциал $\mathbf{A}$ можно построить так, что $\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}$ , что неверно при наличии магнитных монополей.

ДжорджиоП · Answer 2

Завихренность и дивергенция векторного поля являются независимыми величинами ( теорема Гельмгольца позволяет восстановить векторное поле, если они оба известны). Таким образом, невозможно вывести что-либо для каждой из этих двух величин из другой.

Стоит отметить, что закон Био-Савара эквивалентен теореме Гельмгольца для бездивергентного векторного поля. Точно так же закон Кулона эквивалентен теореме Гельмгольца для векторного поля без завитков.

Если закон Ампера подразумевает закон Био-Савара, который подразумевает закон Гаусса для магнетизма, значит ли это, что уравнения Максвелла избыточны?

Маттиа Ф.

my2cts

Маттиа Ф.

Эрик Думинил

Маттиа Ф.

Ответы (2)

Торондор

ДжорджиоП

Майкл Зайферт

Где я ошибаюсь, выводя первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме?

Можно ли записать законы Гаусса и Ампера в терминах дивергенции четырехвектора энергии?

Дивергенция неконсервативного электрического поля

Зачем нам нужно второе уравнение для электрического поля в уравнении Максвелла?

Есть ли хороший эксперимент, чтобы продемонстрировать закон Гаусса для магнетизма?

Почему мы можем использовать двумерную проекцию трехмерной гауссовой поверхности для расчета электрического потока?

Справедлив ли закон Гаусса для электрических полей, зависящих от времени?

Гравимагнитный монополь и общая теория относительности

Зачем нужны законы Гаусса для электричества и магнетизма?

Как вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана?