Зачем нам нужно второе уравнение для электрического поля в уравнении Максвелла?

Ваше утверждение верно в рамках вашего положения о стационарных зарядах и отсутствии изменяющихся во времени магнитных полей.

За пределами ограниченных случаев, когда а) отсутствуют переменные во времени магнитные поля и б) электрическое поле консервативно, т. е. является градиентом скалярного потенциала, нам понадобится уравнение ротора

$$\nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B} {\partial t}$$

для объяснения результатов дополнительных экспериментов (начиная с Фарадея), а именно с электрическими полями, возникающими в результате электромагнитной индукции в изменяющемся во времени магнитном поле.

Это электростатическая проблема. Это означает, как вы упомянули, что

$$\nabla \times{\vec E}=0$$ что эквивалентно существованию электростатического потенциала $\Phi(\vec r)$так что $$\vec E(\vec r)=-\nabla \Phi(\vec r)$$ Вставка этого в $$\nabla \vec { E } =\frac { \rho }{ {\epsilon }_{ 0 } } \tag{I}$$ урожаи $$\Delta \Phi =-\frac { \rho }{ { \epsilon }_{ 0 } }$$ которое представляет собой уравнение Пуассона для электростатического потенциала. Это уникальное решение для $\vec E=-\nabla {\Phi}\rightarrow 0$когда $\vec { r } \rightarrow \infty$.

Другая точка зрения состоит в том, что математически, используя функцию Грина уравнения (I), которая соответствует закону Кулона, решение уравнения (I) с граничным условием$\vec E\rightarrow 0$когда$\vec { r } \rightarrow \infty$является

$$\vec E(\vec r)= \int {\frac{\rho(\vec r') (\vec r - \vec r')d^3r'}{4 \pi \epsilon_0|\vec r - \vec r'|^3}}$$

Примечание. Уравнение (I) также известно как дифференциальная форма закона Гаусса. Закон Гаусса эквивалентен закону Кулона. Закон Гаусса следует из закона Кулона и наоборот.

«... вопрос в том, что уравнение дивергенции является УЧП первого порядка, поэтому, задав достаточное количество граничных условий, мы сможем правильно определить поле?»

Не так. Как упоминалось в комментариях, ответ на этот вопрос по существу касается разложения Гельмгольца, но давайте на самом деле частично углубимся в определенное доказательство этого разложения, которое очень четко, геометрически и интуитивно показывает, в чем проблема, по крайней мере, для большого класса векторов. поля, а именно те, которые имеют преобразование Фурье, как обсуждалось в моем ответе здесь .

Представьте себе разложение Фурье векторного поля.$\vec{F}(\vec{k})$, функция волнового вектора плоской волны$\vec{k}$, т.е. мы разлагаем векторную функцию$\vec{f}(\vec{r})$положения$\vec{r}$в суперпозицию полей плоских волновых векторов вида$\vec{F}(\vec{k})\,\exp(i\,\vec{k}\cdot\vec{r})$.

Теперь, как дивергенция и завиток выглядят в пространстве Фурье?$\nabla\cdot \vec{f}$имеет преобразование Фурье$\vec{k}\cdot\vec{F}$и$\nabla\times \vec{f}$имеет преобразование$\vec{k}\times\vec{F}$; вы должны быть в состоянии доказать это довольно прямолинейно.

Итак, теперь задайте свой вопрос в терминах пространства Фурье. Это «почему мы можем определить вектор$\vec{F}$от$\vec{k}\cdot\vec{F}$в одиночку?». Должно быть совершенно ясно, что это невозможно сделать; нам нужно знать компоненты$\vec{F}$которые ортогональны$\vec{k}$и они могут быть заданы по существу независимо, поскольку дивергенция векторного поля всюду ортогональна$\vec{k}$исчезает.

В общем случае можно задать гладкое скалярное поле в пространстве Фурье$g(\vec{k})$и второе гладкое векторное поле$\vec{H}(\vec{k})$который всюду ортогонален$\vec{k}$, а в остальном произвольно. Как я обсуждаю в этом ответе здесь и здесь , информация$g(\vec{k})$и$\vec{H}(\vec{k})$именно та информация, которая позволяет определить векторное поле$\vec{F}$так что:

$$g(\vec{k}) = \vec{k}\cdot\vec{F}(\vec{k})$$ $$\vec{H}(\vec{k})= \vec{k}\times \vec{F}(\vec{k})$$

Таким образом, ответ на ваш вопрос, по сути, заключается в том, что условие дивергенции сообщает вам только компонент векторного поля, который находится вдоль волнового вектора; соленоидальная часть , ортогональная волновому вектору, отсутствует (имеет нулевую дивергенцию) и может быть задана независимо.