Почему мы можем использовать двумерную проекцию трехмерной гауссовой поверхности для расчета электрического потока?

Чтобы рассчитать электрический поток, проходящий через одну сторону конуса, не заключенного в общий заряд, я изначально думал, что вам нужно взять бесконечно малые площади, поставить точки над вектором нормали с вектором поля и проинтегрировать. Однако я обнаружил, что можно взять двумерную проекцию конуса, найти площадь и умножить ее на поле, чтобы получить поток. Однако я немного смущен тем, почему это работает. Площадь двумерной проекции отличается от площади поверхности половины конуса, а закон Гаусса имеет интеграл площадей.

У меня такое ощущение, что несоответствие площади создается тем фактом, что скалярное произведение между векторами компенсирует эту разницу. Это как-то связано с тем, как векторная проекция связана с скалярным произведением? Я не очень хорошо знаком с его глубокой интуицией, но мне любопытно, почему это несоответствие в площади дает одинаковый поток.

Ответы (2)

Речь идет о том, сколько линий поля проходит через него. Они определяют проходящий поток, и они не меняются, когда объект отрисовывается в 3D.

  • Это как положить плоскую проволочную сетку в поток воды и подсчитать проходящие через нее частицы воды.
  • Если вы положите проволочную сетку в форме полусферы, вы все равно подсчитаете такое же количество частиц, проходящих за одно и то же время. У них просто больше площадь на частицу.

Точно так же 3D-объект дает большую общую площадь, но с «меньшим количеством» линий поля на площадь. Соответствующее поперечное сечение имеет меньшую площадь и «больше» линий на площадь. Получается, что "количество" строк одинаковое. Так как площадь поперечного сечения легче вычислить, люди так и делают.

и закон Гаусса имеет интеграл площадей

У Гаусса есть интегрирование скалярного произведения электрического поля и площадей, которое отличается.

Из того, что вы написали, я предполагаю, что электрическое поле Е → постоянно.

Для небольшого элемента площади г А → вам нужно оценить электрический поток через эту область Е → ⋅ г А → .

введите описание изображения здесь

Оценка скалярного произведения дает Е г А потому что ⁡ θ .
Теперь вы увидите на диаграмме, что г А потому что ⁡ θ это просто проекция площади, расположенной под прямым углом к ​​электрическому полю.
При условии, что электрическое поле постоянно, вы можете выполнить ту же проекцию на поверхность и оценить общий электрический поток, умножив величину электрического поля на общую проецируемую площадь.

Если электрическое поле неоднородно, то все области, проецируемые под прямым углом к ​​электрическому полю, не будут лежать в одной плоскости.

Почему мы можем использовать двумерную проекцию трехмерной гауссовой поверхности для расчета электрического потока?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v