Есть ли что-то еще в теореме Нётер?

В рамках ньютоновской механики законы сохранения сложно разработать, и они не очевидны на первый взгляд. Лагранжева механика обобщает концепцию законов сохранения, используя «симметрии». Связь между симметриями и законами сохранения устанавливается теоремой Нётер.

Объект обладает симметрией, если он инвариантен относительно преобразования. Преобразование может быть дискретным или непрерывным, локальным или глобальным, а объектом может быть действие, лагранжиан, уравнения движения или даже сами координаты.

Связь между симметриями и законами сохранения в теореме Нётер сохраняется только для непрерывных симметрий, однако она охватывает как глобальные, так и локальные преобразования посредством первой и второй теорем Нётер.

Преимущество этого результата состоит в том, что мы можем быстро определить симметрии и, следовательно, гарантируем закон сохранения. Законы сохранения полезны для уменьшения сложности проблемы с помощью процедур сокращения.

Редактировать

Я думаю, что основная часть вашего вопроса заключается в следующем:

Есть ли какая-либо дополнительная информация о системе, полученная при использовании теоремы Нётер, в отличие от использования ньютоновской структуры?

Сам закон сохранения не будет содержать никакой дополнительной информации. Сказать, что объект сохраняется во времени, значит просто наблюдать за исчезновением его производной по времени. Однако теорема Нётер на самом деле позволяет нам получить дополнительную информацию о нашей системе.

В качестве примера

Рассмотрим гамильтонову систему$(M,\omega ,H)$где$M$является симплектическим многообразием,$\omega$является симплектической 2-формой и$H$является функцией Гамильтона. Непрерывная симметрия гамильтоновой системы есть векторное поле$X$на$M$такая, что производная Ли (обозначается$\mathcal L_X$) из$\omega$и$H$исчезает,

$$\begin{equation} \mathcal L _X\omega=\mathcal L_XH=0 \end{equation}$$ По лемме Пуанкаре, если $\iota _X\omega$замкнута, то локально скалярная функция $F:M\mapsto \mathbb R$можно найти, значит $\iota _X\omega =dF$, (где $\iota _X$внутренний продукт), т.е. если $X$симплектическая, то в окрестности она гамильтонова и, следовательно, $X_F(H)=\{H,F\}=0$значение $F$находится в инволюции, что указывает на его постоянство вдоль интегральных кривых $X_H$, сохраняющаяся величина.

С аналитической механикой приходит абстракция. Ньютоновская физика никогда не могла толком рассказать мне о свойствах$\omega$или теорема Лиувилля и т. д. Так что с этой точки зрения да, теорема Нётер дает нам намного больше понимания физики системы, чем просто формулировка закона сохранения.

Однако, в то же время, физика есть физика, независимо от того, как вы описываете систему, все результаты должны быть связаны друг с другом, и, конечно, мы не должны ожидать новой физики, перефразируя проблему. Вместо этого мы благодарны за то, что можем узнать больше.

Я надеюсь, что это поможет и что я правильно понял ваш вопрос?

Из определения лагранжевой механики теорема Нётер показывает, что сохранение импульса и энергии происходит из инвариантности по отношению ко времени и пространству.

Да, это то, что мы можем прочитать на подобных сайтах . Но обратите внимание, что мы определяем наше время, используя движение света, и наше пространство тоже.

Верно ли обратное? Полностью ли лагранжева механика эквивалентна законам сохранения?

Они не полностью эквивалентны, они основаны на различии кинетической и потенциальной энергии. А потенциальная энергия маятника — это всего лишь скрытая кинетическая энергия. Гравитация преобразует внутреннюю кинетическую энергию во внешнюю кинетическую энергию.

Или теорема Нётер что-то добавляет?

Я бы сказал, что это что-то добавляет. Но я никогда не чувствовал, что это особенно глубоко. Подумайте о комптоновском рассеянии, где вы можете преобразовать часть энергии фотона в движение электрона. Теоретически вы могли бы сделать еще один комптоновский разброс на остаточном фотоне, и еще, и еще. В пределе не осталось E=hf волновой энергии фотонов, она полностью превратилась в движение электронов. И еще, и еще: вы можете сделать электрон (и позитрон) из фотона в парном рождении. Так что в каком-то смысле электрон состоит из движения. Я думаю , это глубоко. Или энергия-импульс, если хотите.

Если да, то я делаю вывод, что эта теорема не дает больше понимания того, почему инвариантами являются масса, импульс и энергия.

Я склонен согласиться. Но обратите внимание, что инвариантная масса не является инвариантной. Когда вы бросаете кирпич, часть его массы-энергии преобразуется в кинетическую энергию. Когда вы рассеете это, у вас останется дефицит массы . Энергия сохраняется. ИМХО, это законсервировано, потому что все состоит из энергии, это фундаментально. Это единственное, что мы не можем ни создать, ни разрушить. Почему, я не знаю.

Действительно, в лагранжевой механике вам все еще нужно определить сопряженные переменные (отсюда импульс) и сам лагранжиан (отсюда и энергию). Это означает, что вы не можете вывести эти инварианты из более фундаментальных постулатов. Я прав?

Я бы сказал нет, потому что энергия и импульс на самом деле не две разные вещи. Это два аспекта энергии-импульса. Представьте себе пушечное ядро, летящее в космосе со скоростью 1000 м/с относительно вас. Можно сказать, что у него есть кинетическая энергия, а можно сказать, что у него есть импульс. Но первое, по сути, является мерой тормозного пути, а второе — мерой времени остановки. Нельзя уменьшить одно, не уменьшив другое. Это две стороны одной медали. И снова мы определяем наше время и наше пространство с помощью движения света. Движение — король.

Теперь бонусный вопрос. Есть ли какая-то глубокая причина, по которой все эти инварианты пропорциональны массе? И пропорционально степеням скорости?

Они пропорциональны массе, потому что масса тела является мерой содержания в нем энергии . Вспомните волновую природу материи и образования пар, а также атомные орбитали , где электроны «существуют как стоячие волны». Взгляните на фотон в зеркальном ящике в этой статье: http://arxiv.org/abs/1508.06478 ('t Hooft - это не Нобелевский' 't Hooft). Тогда подумайте об импульсе фотона как о сопротивлении изменению движения волны, распространяющейся линейно в точке с, и подумайте о массе электрона как о сопротивлении изменению движения волны, движущейся по кругу в точке с. И да, сила скорости заключается в E=mc², где вы делите на с, чтобы перейти от энергии к импульсу, и снова на с, чтобы получить массу. Это также в ½ mv² для пушечного ядра, чтобы сделать с тормозным путем.. Это немного похоже на обратный Комптон, когда вы берете энергию фотона из движущегося электрона.