Ньютоновская и лагранжева симметрия

Question

Ньютоновская и лагранжева симметрия

Красный гигант

Предположим, у нас есть шар массой $m$ в гравитационном поле Земли ( $g=const.$ ). Уравнение движения звучит так:

м а "=" - м г

$ma = -mg$ Отсюда можно заключить, что мы имеем трансляционную симметрию вида

x (t) \to x (t) + c o n s t

$x(t) \to x(t) + const$ (мы работаем только в 1D). Однако мы не можем увидеть эту симметрию из лагранжиана:

л "=" \frac{м в^{2}}{2} - м г Икс

$L = \frac{mv^2}{2} - mgx$ потому что линейный член «нарушает» эту симметрию. Более того, у нас тоже нет соответствующей сохраняющейся величины (насколько я вижу).

Означает ли это, что у нас могут быть симметрии в ньютоновском смысле (преобразования, отображающие решения в другие решения), которых нет в лагранжиане?

Ответы (3)

Ньютоновская и лагранжева симметрия

Филип · Answer 1

Ну, мне кажется, что под переводом $x(t) \to x(t) + c$ , лагранжиан переходит в

л \to л^{'} "=" \frac{1}{2} м в^{2} - м г (Икс + с) "=" л - м г с .

$\mathcal{L} \to \mathcal{L}' = \frac{1}{2}m v^2 - mg(x+c) = \mathcal{L} -mgc.$

Так что да, лагранжиан может показаться другим, однако, поскольку он смещается только на постоянную величину, эти два лагранжиана ( $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}'$ ) эквивалентны и дают одни и те же уравнения Эйлера-Лагранжа. Действительно, в более общем случае два лагранжиана эквивалентны, если их разность является полной производной по времени. то есть $\mathcal{L}$ и

л^{'} "=" л + \frac{г ф}{г т}

$\mathcal{L}' = \mathcal{L} + \frac{\text{d}f}{\text{d}t}$ эквивалентны для любых

f (t)

$f(t)$ .

Спасибо. Но есть ли у нас сохраняющееся количество?
@RedGiant Ах да, я забыл упомянуть об этом. Я считаю (хотя я уже давно не проводил расчетов), что сохраняющаяся величина — это просто энергия. Это не строгая симметрия лагранжиана, а «квази»-симметрия, но, к счастью, я считаю, что для нее все еще верна теорема Нётер. См. ответы на этот вопрос: Инвариантность лагранжиана в теореме Нётер .
Второй ответ на вопрос, который я связал выше, кажется, подтверждает, что сохраняющаяся величина является гамильтонианом, но я чувствую, что ответ @MichaelSeifert ниже, показывающий, что это начальный импульс, гораздо более очевиден. Я пытаюсь воспроизвести шаги в другом ответе. Тем не менее, это, по крайней мере, доказывает, что не все «сохраняемые» количества являются полезными количествами! :)

Майкл Зайферт · Answer 2

Вы можете выполнить интегрирование по частям на последнем члене (и отбросить полученный граничный член), чтобы получить действие с эквивалентными EOM:

С^{'} "=" \int (\frac{1}{2} м {\dot{Икс}}^{2} + м г т \dot{Икс}) г т

$S'= \int \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g t \dot{x} \right) \, dt$ В этом контексте симметрия

x \to x + C

$x \to x + C$ очевидно на уровне лагранжиана. Более того, уравнения Эйлера-Лагранжа становятся

\frac{г}{г т} (м \dot{Икс} + м г т) "=" \frac{\partial л^{'}}{\partial \dot{Икс}} "=" 0

$\frac{d}{dt} \left( m \dot{x} + m g t \right) = \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{x}} = 0$ и, следовательно, количество

m \dot{x} + m g t

$m \dot{x} + m g t$ есть постоянная движения. В частности, это начальный импульс частицы.

(Как-то это кажется «дешевым», и я не уверен на 100%, что это законный шаг. Комментарии приветствуются.)

Qмеханик · Answer 3

(бесконечно малый) перевод
$дельта Икс "=" ϵ$ $\delta x~=~\epsilon$ изменяет лагранжиан OP на полную производную по времени $дельта л "=" м г ϵ "=" \frac{г}{г т} (м г ϵ т) .$ $\delta L~=~mg \epsilon~=~ \frac{d}{dt}(mg \epsilon t).$ Это известно как квазисимметрия . Теорема Нётер верна и для квазисимметрии.
Относительно симметрии действия по сравнению с EOM см. также, например, этот связанный пост Phys.SE.

Ньютоновская и лагранжева симметрия

Красный гигант

Ответы (3)

Филип

Красный гигант

Филип

Филип

Майкл Зайферт

Qмеханик

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Теорема Нётер о трансляционной симметрии пространства

Почему теорема Нётер важна?

Есть ли что-то еще в теореме Нётер?

Вывод закона инерции из метода Лагранжа (Ландау)

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Суммарная энергия в реономных системах

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Какое значение теоремы Нётер в физике?