Вывод закона инерции из метода Лагранжа (Ландау)

Question

Вывод закона инерции из метода Лагранжа (Ландау)

Алоизио Маседо

Я читаю книгу Ландау.

Он пытается вывести закон инерции из уравнений Лагранжа.

Для этого он утверждает (с помощью хороших предположений о пространстве и времени), что лагранжиан должен зависеть только от скорости. Точнее, только на квадрат скорости.

Дело в том, что, поскольку уравнения Лагранжа:

\nabla_{Икс} л + (\nabla_{\dot{Икс}} л)^{'} \equiv 0

$\nabla_x L+(\nabla_{\dot{x}}L)' \equiv 0$

Он получает это $(\nabla_{\dot{x}}L)'\equiv 0$ , что подразумевает $\nabla_{\dot{x}}L=constant$ (во времени, по траектории).

Теперь вот моя проблема: он заключает, что $\dot{x}$ постоянно. Как? Он ничего не знает о $L$ , помимо свойств "симметрии". Например, $L\equiv 0$ удовлетворяет всем свойствам, требуемым от такого $L$ , и мы не смогли бы сделать вывод, что $\dot{x}$ постоянно. На самом деле любая кривая была бы экстремальной по отношению к действию.

Каковы же тогда его рассуждения?

Ответы (2)

Вывод закона инерции из метода Лагранжа (Ландау)

пользователь12029 · Answer 1

Вы правы.

Чтобы найти уравнения движения, мы имеем:

\begin{aligned} с_{я} & "=" \frac{\partial л (в^{2})}{\partial в_{я}} \\ "=" л^{'} (в^{2}) 2 в_{я} \end{aligned}

$\begin{align*}c_i&=\frac{\partial L(v^2)}{\partial v_i}\\ &=L'(v^2) 2 v_i \end{align*}$

так что $L'(v^2) v_i$ является постоянным для всех времен.

Во-первых, можно представить себе мир, в котором все пути ${\bf x}(t)$ действительные механические пути. Тогда преобразование Галилея действительного механического пути также является действительным механическим путем и, таким образом, соблюдает относительность Галилея. (тривиально, потому что все пути допустимы) Вот что происходит, когда $L'=0$ одинаково.

Другой вырожденный случай, например, $L(y)=\sin(y)$ . Тогда, если $v^2=\frac{pi}{2}$ , $L'(v^2)=0$ и путь может изменять направление по желанию.

Еще один вырожденный случай — это когда $L(v^2)=\sqrt{v^2}$ . Затем $\frac{\partial L}{\partial v_i}=\frac{v_i}{\sqrt{v^2}}$ и, например, одномерное движение $x(t)=t^2$ удовлетворяет $\frac{2t}{\sqrt{4 t^2}}$ постоянная (для $t>0$ ).

Так что возникает вопрос: что доказывает этот пассаж Ландау? К счастью, хотя я и не просматривал его внимательно, следующий раздел (который доказывает, что $L\propto v^2$ ) по-видимому, не зависит от предположения, что $v={\mathrm{const}}$ для свободной частицы.

Но есть и другая проблема: он не определяет однозначно путь. У нас есть семейство путей (а именно, все с постоянным $\textbf{v}$ удовлетворять принципу). Как я могу быть уверен, что никакой другой путь также не удовлетворит меня?
@AloizioMacedo Извините, я действительно думал об этом. Цель классической механики — однозначно определить уравнения движения. Я обновлю свой пост.
Извините, я не понял. Что вы подразумеваете под лагранжианом, «однозначно определяющим уравнения движения»?
@AloizioMacedo оказывается, это очень раздражающий вопрос, который вы задали! Дайте мне знать, если мое последнее редактирование «помогает».
Конечно помогает! Спасибо за внимание, правда : ). Боюсь, что следующий раздел зависит от предположения, что $v=\text{const}$ для свободной частицы. Я только что нашел этот вопрос: physics.stackexchange.com/questions/23098/… который похож на мой (и даже включает в себя другие сомнения, которые я собирался задать). Ответ, кажется, отвечает на него, но, поскольку я не знаю теоремы Нётер и других инструментов, связанных с этим ответом, я некоторое время воздержусь от этого вопроса. Я принимаю ваш ответ, так как вы ответили на мой вопрос. Еще раз спасибо.

Кайл Канос · Answer 2

Это следует из $L$ будучи функцией $\propto\dot{x}^2$ . Имея это под рукой, у вас остается два варианта:

$\left(\nabla_{\dot{x}}L\right)'\sim\left(\dot{x}\right)'=0$ подразумевает $\dot{x}=\rm const.$
$L=0$ подразумевает $\dot{x}=0=\rm const.$

В любом случае вы получаете, что скорость постоянна во времени (для этого конкретного случая свободных частиц).

$L=0$ не подразумевает $\dot{x}=0$ . На самом деле, это абсолютно ничего не значит!
@NeuroFuzzy: Если $L$ является лишь функцией $\dot{x}$ (как утверждает автор), то говоря $L$ равен нулю означает, что $\dot{x}$ также равен нулю (что является постоянным).
Если $L=0\cdot \dot{x}^2$ , $\dot{x}$ может быть чем угодно и удовлетворить $L=0$ , и это проблема, с которой сталкивается ОП.
@NeuroFuzzy: я не понимаю, как можно рационально утверждать, что $L=0\cdot\dot{x}^2$ является функцией $\dot{x}^2$ (или что-то еще), так как ваш постоянный коэффициент обязательно равен нулю.
@Кайл Канос $L=0$ является функцией и зависит только от $\dot{x}$ просто по определению: это не зависит от других переменных. Даже если вы отбросите этот случай, вы можете определить $L=\sqrt{v^2}$ . Это зависит только от $v$ и, как показывает NeuroFuzzy, приводит к решениям с непостоянной $v$ .
@Aloizio: И $L=\alpha v$ решение справедливо отклонено, см. этот пост .

Вывод закона инерции из метода Лагранжа (Ландау)

Алоизио Маседо

Ответы (2)

пользователь12029

Алоизио Маседо

пользователь12029

Алоизио Маседо

пользователь12029

Алоизио Маседо

Кайл Канос

пользователь12029

Кайл Канос

пользователь12029

Кайл Канос

Алоизио Маседо

Кайл Канос

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Теорема Нётер о трансляционной симметрии пространства

Почему теорема Нётер важна?

Ньютоновская и лагранжева симметрия

Есть ли что-то еще в теореме Нётер?

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Суммарная энергия в реономных системах

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Какое значение теоремы Нётер в физике?