Есть ли физически значимый пример построения ряда решения относительно бесконечности обыкновенного дифференциального уравнения?

Я постараюсь привести примеры, когда решения физических задач представляют собой разложения о$\infty$. Они не обязательно являются решениями дифференциального уравнения второго порядка.

Механика:

Рассмотрим цилиндр массы М, площади А и длины$L_0$. Расположите его вертикально на земле (то есть, один конец касается земли, другой конец в воздухе). Предположим, что цилиндр (как и всякий твердый предмет) обладает упругостью, т. е. жесткостью пружины, равной К. Теперь, если цилиндр бесконечно жесткий, т. е. если К равно бесконечности, длина цилиндра не изменится за счет гравитации, и будет равна$L_0$. То есть гравитация не заставит его сжаться, так как К — бесконечность.

Но что, если цилиндр жесткий, но с некоторой упругостью (как всякое реальное твердое тело)? Затем мы ожидаем, что длина станет меньше L, мы ожидаем, что она немного уменьшится. Итак, ищем решение в виде:$L=L_0 - \frac{1}{k} f_1(M,g,A,L_0)$, где$f_1$является поправкой первого порядка с точки зрения$\frac{1}{K}$. Можно продолжить поиск следующих поправок в степенях$\frac{1}{K}$.

Электростатика: На этот раз в электростатике. Вы, конечно, можете найти электрическое поле над центром плоскости с однородной поверхностной плотностью.$\sigma$. Это$\frac{\sigma}{ 2 \epsilon}$. Теперь предположим, что вместо бесконечной плоскости, которой физически не существует, мы имеем круговой диск радиуса$R$, и мы пытаемся найти электрическое поле на его оси, на расстоянии$h$от центра. Вы можете легко рассчитать результат, который$\frac{\sigma}{2\epsilon} \bigg[ 1-\frac{h}{h^2+R^2}\bigg]$. С$R$велик, вы можете разложить его по Тейлору с точки зрения$\frac{h}{R}$. Результат$\frac{\sigma}{ 2 \epsilon} -\frac{\sigma}{ 2 \epsilon} \frac{h}{R}+ \frac{\sigma}{ 4 \epsilon} \frac{h^3}{R^3} + \ldots$. Это расширение о$R=\infty$.

термодинамика: почти каждое появление термина «эффекты конечного размера» в термодинамике, в фазовых переходах и в области сложных сетей дало бы вам поправки (которые в основном являются усеченными разложениями) в степенях, обратных размеру системы.

Наконец, я думаю, что могу придумать наглядный пример обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, где в точке есть особенность.$\infty$. Предположим, что на земле лежит длинный прямоугольный блок массой M без трения между блоком и землей. Предположим, мы помещаем массу$m$на блоке, с трением$\mu$между блоками. Предположим, что$M$большой, то есть$m \ll M$. Теперь тянем верхнюю массу с постоянной силой$F$. Найдите скорость блока (не верхней массы) как функцию времени. Если вы запишете уравнения движения, то увидите, что для$M=\infty$, есть особенность, легко устранимая, и скорость (или положение) блока равна нулю для$M=\infty$, и исправления порядка$\frac{1}{M}$.