Формальная связь между симметрией и законом Гаусса

В стандартной студенческой трактовке E&M закон Гаусса в общих чертах сформулирован как «электрический поток через замкнутую поверхность пропорционален заключенному заряду». Эквивалентно в дифференциальной форме и в терминах потенциала (в статическом случае):

∇ 2 ф "=" − р ϵ 0

Теперь, при использовании интегральной формы, обычно используются симметрии известного распределения заряда для вывода связанных симметрий в электрическом поле, что позволяет исключить величину поля из интеграла. Для этого обычно полагаются на интуитивные, эвристические аргументы о том, как рассматриваемое поле «должно» вести себя. 1 .

Мне интересно, как можно формализовать это понятие в точных математических терминах. В частности, кажется, что должно быть эквивалентное утверждение для закона Гаусса в дифференциальной форме в духе « симметрии в р индуцировать родственную симметрию в ф ". Есть ли способ официально заявить об этом утверждении? В частности:

  1. Как можно сформулировать доказательство условий (необходимых и достаточных), при которых симметрия р индуцирует симметрию в ф ?
  2. Когда она существует, как можно явно сформулировать индуцированную симметрию в терминах известной симметрии?
  3. Можно ли обобщить такой результат для произвольных линейных УЧП, исходные члены которых обладают некоторой симметрией?

Мне кажется, что должен существовать краткий, элегантный и общий способ сформулировать и доказать вышеизложенное, но я не могу сейчас соединить все точки.

1 См., например, у Гриффитса, пример 2.3, с. 72: « Предположим, скажем, что он указывает точно на восток, на «экватор». Но ориентация экватора совершенно произвольна — здесь ничего не вращается, поэтому нет естественной оси «север-юг» — любой аргумент, призванный показать, что Е точки востока можно было бы с тем же успехом использовать, чтобы указать на запад, север или любое другое направление. Единственное уникальное направление на сфере — радиальное. "

У меня есть дополнительный вопрос... Нарушенная симметрия, когда симметрия решения меньше, чем симметрия уравнения, распространена в квантовой теории поля. Почему этого не происходит, скажем, в классической электростатике?
Если вы действительно хотите сказать что-то простое более формальным образом, возможно, подумайте о симметриях как об операторах, действующих в некотором пространстве функций. Если оператор отображает функцию на себя, она симметрична. Если они оператор коммутирует с лапласианом (или чем-то еще, что у вас есть diff eq), то ваше уравнение симметрично. Тогда легко увидеть, что если функция в одной части симметричного уравнения симметрична, другая должна быть симметричной.

Ответы (1)

Позволять Д — оператор, соответствующий вашему уравнению ( − ϵ 0 ∇ 2 в этом случае). Позволять U — некоторый оператор, соответствующий симметрии. Это может быть вращение или преобразование четности и т. д.

Если U ф "=" ф , мы говорим, что функция ф симметричен.

Если U Д "=" Д U как операторы, то мы говорим, что ваше уравнение симметрично.

Позволять, Д ф "=" г . Если Д симметричен и г симметрична, то легко показать Д ф "=" Д U ф . Если мы можем взять обратное Д мы доказали ф симметричен.

Принимая обратное значение Д это то же самое, что и возможность однозначно решить уравнение. В вашем конкретном случае мы можем решить уравнение однозначно, если ограничим наше функциональное пространство некоторыми граничными условиями, скажем, исчезающими на бесконечности.

Итак, это пример, который вы имели в виду, и это формализация аргумента о том, что ф должны быть симметричны.

Теперь, если мы не можем решить уравнение однозначно, тогда в аргументе может быть лазейка. Конкретный случай, который я имею в виду, - это магнитный монополь, который осесимметричен, но решение векторного потенциала имеет струну Дирака, а не таковую. Но любые два решения ф и U ф в этом случае связаны калибровочным преобразованием.

Эта лазейка и есть (думаю, если я правильно понимаю) точка, на которой я застрял. Мне совершенно ясно, что если ваше уравнение имеет некоторую симметрию, то действие на какое-то частное решение ф с соответствующим оператором симметрии дает другое частное решение U ф , но более сильное требование, что эти два решения фактически равны, кажется, не следует прямым образом, если вообще следует. Я предполагаю, что я ищу более подробное описание того, как/когда первое подразумевает второе?
Я не думаю, что вы затронули лазейку в своем вопросе. В вашем конкретном примере аргумент, что ф является симметричным. Я отредактировал свой ответ, чтобы сделать его более понятным (именно поэтому я предпочитаю отвечать в комментариях, кстати)
Формальная связь между симметрией и законом Гаусса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v