Какова цель слабой формулировки PDE? Я читал в книге Зенкевича и Тейлора, что слабая формулировка более «допустительна», чем исходная задача, в том смысле, что она допускает разрывы коэффициентов УЧП, где, поскольку исходное УЧП в дифференциальной форме должно иметь «действительно » гладкую решение, которое необходимо решить аналитически. Итак, мой вопрос: во-первых, что такое слабая формулировка в физическом смысле? и, во-вторых, используется ли он только для обработки УЧП с разрывами коэффициентов в том смысле, что аналитическое интегрирование дает «слишком гладкий» результат, который не имеет отношения к проблемам природы?
Во-первых, важно не то, что коэффициенты в УЧП могут плохо себя вести, а само решение.
Слабая формулировка часто является естественным способом, которым мы получаем УЧП из физики, возможно, наиболее важно из законов сохранения. Например, мы могли бы получить уравнение для потока жидкости из закона сохранения импульса, рассматривая произвольную область. Тогда (скорость изменения импульса)=(чистый поток момента)+(сила), записанная в интегральной (слабой!) форме. Взяв небольшую область, мы получим дифференциальную формулировку.
Сами по себе слабые решения также имеют физическое значение, поскольку эволюция системы приводит к разрыву. Например, одномерное течение невязкой жидкости описывается уравнениями Эйлера , но при определенных граничных и начальных условиях они не имеют гладкого решения: в частности, могут образовываться ударные волны, где давление, скажем, прерывно. PDE сами по себе неоднозначны в отношении того, как действовать, но слабая формулировка даст конкретное слабое решение, используя что-то вроде условий скачка Ренкина-Гюгонио. Аналогичные явления происходят для обрушения волн на воде и моделей транспортного потока.
Я не уверен, что я прямо ответил на ваши вопросы, но я надеюсь, что этого достаточно, чтобы ответить на них!
пользователь10851