Хорошо известный результат квантовой механики состоит в том, что для отдельной частицы в одном измерении в ограничивающем потенциале это идет к как , собственные функции энергии дискретны, а собственная функция имеет точно узлы, в которых . (Более того, можно сказать и больше — например, между любыми двумя последовательными узлами в й собственной функции существует узел в собственная функция.)
Применимы ли какие-либо подобные результаты к одиночным частицам в более чем одном измерении или к многочастичным системам (для которых волновая функция определяется в пространстве конфигураций, а не в реальном пространстве)? Если нет, то существует ли явный пример многомерной или многочастичной системы, волновая функция основного состояния которой имеет узел?
Результат фактически применим к 1d-эквивалентному движению и, как таковой, применим к радиальной части уравнения Шредингера в любом измерении, если эту радиальную часть можно отделить.
В общем, поворот состоит в том, что эквивалентное одномерное движение зависит от эффективного потенциала - в случае трехмерного центрального потенциала эффективный одномерный потенциал будет включать центробежную часть, пропорциональную - поэтому результат может зависеть от углового момента или может зависеть от других параметров эффективного потенциала.
Я нашел ответ на Chemistry SE. По-видимому, для систем из одной частицы в более чем одном измерении известен единственный общий результат, заключающийся в том, что число узлов в собственная функция , и только в 1D неравенство всегда насыщено. (См. Ответ для получения дополнительной информации и точных определений терминов.) Более того, в более высоких измерениях последовательность номеров узлов не обязательно увеличивается; на самом деле вопрос дает простой явный пример одночастичной системы в 3D, так что более высокое возбужденное состояние имеет меньше узлов, чем более низкое возбужденное состояние. Для многочастичных систем мне вообще не известны какие-либо общие результаты.
Qмеханик
тпаркер