Трехмерные решения для одномерного уравнения Шредингера?

Общий подход заключается в том, что для уравнений Шредингера потенциал сепарабельен (в том смысле, что$V(x,y,z) = V_1(x) + V_2(y) + V_3(z)$), то существует базис гамильтоновых собственных функций, которые сепарабельны (в том смысле, что$\psi(x,y,z) = \phi(x)\chi(y)\xi(z)$). Однако, вообще говоря, существуют и несепарабельные собственные функции гамильтониана.

Что касается нестационарного уравнения Шрёдингера, то детали зависят не только от потенциала, но и от начальных условий. Сепарабельных решений много, и если начальное условие сепарабельно, то и решение останется сепарабельным. И наоборот, если вы начнете с неразделимого начального условия, решение останется неразделимым.

---

Отделимость уравнения, не зависящего от времени, подробно рассматривается в каждом учебнике, поэтому вместо этого я покажу, как это работает для версии, зависящей от времени. Предположим, что мы начинаем с уравнения Шредингера в форме

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,y,z,t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_1(x) + V_2(y) + V_3(z) \right]\psi(x,y,z,t) . \tag 1$$ Если вам нужно общее решение этого уравнения, вам нужно указать начальное условие. За неимением такового, исследуем некоторые частные решения, в частности, исследуем сепарабельные, т. е. решения вида $$\psi(x,y,z,t) = \phi(x,t)\chi(y,t)\xi(z,t). \tag 2$$ Если вы подключите это к$(1)$, легко видеть, что достаточным условием для$(1)$выполняется, если выполняется каждое из отдельных одномерных уравнений Шрёдингера: $$\begin{align} i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\phi(x,t) & = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_1(x)\right]\phi(x,t) \\ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\chi(y,t) & = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + V_2(y)\right]\chi(y,t) \tag 3 \\ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\xi(z,t) & = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} + V_3(z)\right]\xi(z,t) . \end{align}$$ (Это тоже оказывается необходимым условием . Полное уравнение$(1)$, при делении на$\psi(x,y,z,t)$, сводится к сумме трех слагаемых, каждое из которых зависит исключительно от$x$,$y$и$z$соответственно при фиксированном$t$. Это возможно только в том случае, если все три члена равномерно равны нулю.)

Как это связано с вашим вопросом? В вашем примере$V_2(y)=0=V_3(z)$, так что можно найти основу решений TDSE вида

$$\chi_k(y,t)=e^{i(ky-\omega_k t)}, \quad \xi_k(z,t)=e^{i(kz-\omega_k t)},$$ с$\omega_k = \frac{\hbar}{2m} k^2$. Конкретный пример, который вы нашли, использует особый случай$\chi_k(y,t)$и$\xi_k(z,t)$с$k=0$. Это маскирует то, что происходит на самом деле: ваше решение выглядит как одномерная задача, потому что на самом деле это три одномерных решения в тензорном произведении друг друга, причем два из них тривиальны.

Итак, на этом фоне, чтобы ответить на ваш вопрос:

Означает ли это, что даже для одномерных потенциалов могут быть решения, отличные от одномерных?

да, абсолютно . Любое решение проблемы$y$и$z$Здесь будут работать уравнения Шредингера.

Однако в некотором смысле эти решения все еще являются «фактически одномерными» в том смысле, что ни одно из отдельных одномерных уравнений Шредингера не взаимодействует друг с другом, а волновая функция остается разделимой. И здесь возникает вопрос: существуют ли неразделимые решения ?

Ответ там, опять же, таков: да, абсолютно . Из-за линейности уравнения Шредингера для любых двух разделимых решений TDSE$\psi_1(x,y,z,t) = \phi_1(x,t)\chi_1(y,t)\xi_1(z,t)$и$\psi_2(x,y,z,t) = \phi_2(x,t)\chi_2(y,t)\xi_2(z,t)$, их линейная комбинация

$$\psi(x,y,z,t) = \psi_1(x,y,z,t) + \psi_2(x,y,z,t)$$ также является решением TDSE. И, оказывается, если отдельные компоненты$\psi_1(x,y,z,t)$и$\psi_2(x,y,z,t)$достаточно различны (скажем, в качестве одного из возможных достаточных условий$\chi_1(y,t)$и$\chi_2(y,t)$ортогональны), то можно доказать, что линейная комбинация$\psi(x,y,z,t)$нельзя выписать как произведение отдельных 1D-решений.

Ответ - нет. Вы смешиваете домены своих функций, поэтому и получаете такой результат. Существует очень большая разница между трехмерным потенциалом, который зависит только от$x$и собственный одномерный потенциал. Напомним, что функция определяется указанием доменов, а затем правилом. Правило может быть одинаковым, но домены разные. Например, если у нас есть$f(x)=x$и$g(x,y,z)=x$, это очень разные функции; одна функция из$\mathbb{R}$к$\mathbb{R}$, а другая функция из$\mathbb{R}^3$к$\mathbb{R}$($f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$,$g:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$).

Допустим, у нас есть два потенциала,$V_1$и$V_2$. Они дают одинаковые результаты для всех$x$, но$V_1$является функцией одной переменной и$V_2$функция трех. Для одномерного потенциала имеем

$$\begin{align} V_1&: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ i\hbar\partial_t\langle x|\phi(t)\rangle&=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_x\langle x|\phi(t)\rangle+V_1(x)\langle x|\phi(t)\rangle \end{align}$$ Обратите внимание, что это в одном измерении: Лапласиан становится$\partial^2_x$и$|\phi(t)\rangle$является функцией$x$один. Теперь давайте перейдем к трем измерениям: $$\begin{align} V_2&: \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\\ i\hbar\partial_t\langle x,y,z|\psi(t)\rangle&=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\langle x,y,z|\psi(t)\rangle+V_2(x)\langle x,y,z|\psi(t)\rangle \end{align}$$ Обратите внимание, что$V(x)$остается точно таким же по форме, но теперь в контексте трехмерного пространства; мы расширили домен. Таким образом, теперь решения имеют вид$\psi(x,y,z,t)$, но решения в первом случае имеют вид$\phi(x,t)$. Опять же, это не то же самое, и$V_1$и$V_2$не одинаковы; в то время как они дают тот же ответ для любого$x$, их домены разные и, следовательно, они разные функции. Так что нет, у вас не может быть трехмерных решений одномерной задачи.

Чтобы показать это, нам просто нужно показать, что$\partial\psi/\partial y$и$\partial\psi/\partial z$равны нулю.

Нет, это неправильно. Они не должны быть равны нулю.

Вместо этого вы можете решить уравнение Шредингера

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}(x,y,z,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x,y,z,t)+\mathcal{V}(x)\psi(x,y,z,t).$$ путем разделения переменных с подходом $$\psi(x,y,z,t)=A(x)B(y)C(z)D(t).$$ где$A$,$B$,$C$и$D$являются неизвестными функциями только одной переменной.
Тогда вы легко найдете решения для$y$-,$z$- и$t$-зависимые части $$\begin{align} B(y)&=B_0e^{ik_y y} \\ C(z)&=C_0e^{ik_z z} \\ D(t)&=D_0e^{-i\omega t} \end{align}$$ где$k_x$,$k_y$и$\omega$— произвольные вещественные константы.
И у вас остается обыкновенное дифференциальное уравнение для$x$-зависимая часть: $$\left(\hbar\omega-\frac{\hbar^2(k_y^2+k_z^2)}{2m}\right)A(x)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2A(x)}{dx^2}+\mathcal{V}(x)A(x).$$