Что известно об атоме водорода в пространственных измерениях ddd?

Хороший обзор проблемы дан в arXiv:1205.3740 . Я кратко изложу здесь самые важные моменты.

Позволять$d$быть количеством пространственных измерений. Тогда оператор Лапласа имеет вид

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{d-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Delta_S\tag{1}$$ куда $\Delta_S$является оператором Лапласа на $d-1$сфера.

Кулоновский потенциал определяется решением уравнения

$$-\Delta V=e\delta(\boldsymbol r)\tag{2}$$ который решается $$V(r)=\frac{2(d/2-1)!}{(d-2)\pi^{(d-2)/2}}\frac{e}{r^{d-2}}\tag{3}$$

Один из способов показать приведенное выше выражение — рассмотреть закон Гаусса в$d$размеры, то есть$E(r)=e/\int_r\mathrm ds$где площадь$d-1$сферу можно найти здесь .

При этом уравнение Шрёдингера имеет вид

$$\left[\frac{1}{2m}(-\Delta)+V(r)-E\right]\psi(\boldsymbol r)=0\tag{4}$$

Задача имеет сферическую симметрию, поэтому, как обычно, можно написать

$$\psi(r,\boldsymbol \theta)=\frac{1}{r^{(d-1)/2}}u(r)Y_\ell(\boldsymbol\theta)\tag{5}$$ куда $\boldsymbol \theta=(\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{d-2})$и сила $(d-1)/2$из $r$выбирается для удаления линейного члена в $(1)$. Суперсферические гармоники ( $\sim$ полиномы Гегенбауэра ) являются обобщением обычных сферических гармоник на $d$Габаритные размеры: $$\Delta_S Y_\ell+\ell(\ell+d-2)Y_\ell=0\tag{6}$$

Использование этой формы для$\psi$, уравнение Шредингера принимает вид

$$u''(r)+2m[E-V_\ell(r)]u(r)=0\tag{7}$$ где эффективный потенциал $$V_\ell=V(r)+\frac{1}{2m}\frac{\ell_d(\ell_d+1)}{r^2}\tag{8}$$ с $\ell_d=\ell+(d-3)/2$.

Теперь эта проблема на собственные значения не имеет известного аналитического решения, поэтому мы должны прибегнуть к численным методам. Вы можете найти числовые значения энергий в статье arxiv. Важным моментом, который рассматривается в этой статье, является отсутствие отрицательных собственных значений для$d\ge 4$, то есть нет связанных состояний более чем в трех измерениях. Но для$d\ge 5$есть стабильные орбиты с положительной энергией , с хорошими волновыми функциями.

Чтобы ответить на некоторые ваши вопросы:

• В общем нужно$d$квантовые числа для$d$размерности по модулю вырождений. В случае атома водорода в 3D есть сферическая симметрия и случайная симметрия$^1$, так что вам нужно только одно квантовое число. В$d$размеров сферическая симметрия сохраняется, но я думаю, что случайной нет, а это значит, что нужно$d-1$квантовые числа для$d\neq 3$. Нужно проверить, сохраняется ли вектор Рунге-Ленца в$d$размеры или нет (оставил в качестве упражнения). Если бы этот вектор действительно сохранялся, то энергии зависели бы от$d-2$квантовые числа.

• Поскольку нет аналитического решения радиального уравнения Шредингера, мы не знаем. В случае$d=3$размерности, правило квантования Бора-Зоммерфельда оказывается точным. Мы могли бы проверить, что предсказывает эта схема для$E_n$(хотя мы не могли знать, будет ли это точно или нет: мы должны сравнить с численными результатами).

• Они хорошо известны математикам. О них можно прочитать в статье в Википедии .

• В закрытом виде нет. Я не знаю асимптотической формулы, но ее довольно легко вывести из радиального уравнения Шредингера, где центробежный член$r^{-2}$доминирует для$r\to\infty$, так что кулоновским членом можно пренебречь.

---

$^1$В сферически-симметричных системах потенциал не зависит ни от$\theta$ни$\phi$. В этих системах энергии не зависят от$m$, азимутальное квантовое число . Следовательно, в общем случае для радиальных потенциалов энергии зависят от двух квантовых чисел:$n,\ell$. В конкретном случае$V=1/r$, есть еще одна симметрия, довольно неожиданная (или, по крайней мере, не очень интуитивная с геометрической точки зрения). Когда$V=1/r$вращательная симметрия$SO(3)$увеличен в$SO(4)$симметрии, и эта новая симметрия известна как случайная симметрия . Эта симметрия делает энергетические уровни независимыми от$\ell$, то есть,$E=E_n$. Обратите внимание, что эта симметрия отсутствует в остальной части атомной таблицы, то есть в многоэлектронных атомах, что делает энергетические уровни зависимыми от углового момента (и, следовательно, правил Хунда ).

Можно проиллюстрировать вышеизложенное как

$$\begin{aligned} \text{If $V=V(r,\theta,\phi)$} &\longrightarrow E=E_{n\ell m}\\ \text{If $V=V(r)$}&\longrightarrow E=E_{n\ell}\\ \text{If $V=1/r$}&\longrightarrow E=E_{n} \end{aligned}$$ Первая строка — это общий результат для 3D-систем; вторая линия – результат сферической симметрии; а третья линия — результат случайной симметрии. Если вы хотите больше узнать об этой симметрии, вы найдете несколько полезных ссылок в статье «Почему энергетические уровни водорода вырождаются в$\ell$а также$m$? и/или здесь .