Редактировать 26 сентября 13: исправлена опечатка в потенциале.
Я решаю следующую (на первый взгляд простую) квантово-механическую задачу в четырех пространственных измерениях . В натуральных единицах ( ), уравнение Шредингера гласит:
где — параметр, характеризующий одновременно глубину и размах потенциала. Потенциал зависит только от расстояния от начала координат, поэтому я могу разделить переменные и радиальное уравнение тогда гласит:
Проблема: Кажется, я нашел s -волну ( ) нерассеивающее состояние с нулевой энергией кажется локализованным:
Но я не могу нормализовать это «связанное» состояние, так как интеграл не сходится. Какова природа этого состояния? Или я что-то совсем напутал?
После редактирования потенциал является ограниченным оператором, поэтому гамильтониан корректно определен и ограничен снизу.
Мне кажется, что
просто не является допустимым дискретным собственным значением, связанная с ним собственная функция не является интегрируемой с квадратом.
Вполне может быть, что потенциал вообще не поддерживает никаких связанных состояний.
I) Комментарии к вопросу (v1) с потенциальным до исправления ОП:
С моделью OP есть большая проблема: мы утверждаем, что гамильтониан неограничен снизу. Идея доказательства аналогична этому ответу Phys.SE: можно найти однопараметрическое семейство нормированных пробных волновых функций. , которые локализованы очень близко к 3-сфере , таким образом, что положительная кинетическая энергия остается ограниченной, а отрицательная потенциальная энергия расходится к , как , ср. вариационный метод .
II) Комментарии к вопросу (v2) с потенциальным после исправления ОП:
потенциал теперь ограничен
и с тех пор полуположительна, гамильтониан
теперь ограничено снизу. Действительно, решение OP удовлетворяет TISE с и , и действительно, он не нормализуется, как утверждает OP, поэтому он не принадлежит гильбертовому пространству волновых функций, интегрируемых с квадратом.
Спектр самосопряженного оператора, действующего в гильбертовом пространстве, можно разложить на три типа: дискретные собственные значения, связанные с квадратично интегрируемыми собственными векторами, абсолютно непрерывный спектр и сингулярный непрерывный спектр. Дискретный спектр может быть включен в континуум, но обычно это не так, а сингулярный непрерывный спектр в основном ограничивается случайными системами. В данном случае 0 является частью непрерывного спектра. Его можно определить как состояние рассеяния, но существует множество ситуаций, когда непрерывный спектр не имеет ничего общего с рассеянием.
Хирен Патель