Есть ли натяжение в безмассовой пружине, соединяющей два свободно падающих тела в разных горизонтальных плоскостях?

Есть напряжение в пружине. Оно растянулось, а значит, есть напряжение! Это центр масс, который падает с ускорением$g$а не каждую отдельную массу. Итак, уравнение

$$mg-T=mg$$ является недействительным. Когда две массы падают, они будут колебаться (то приближаться, то отдаляться), и напряжение будет циклически повторяться.

Назовем расстояние, пройденное массой$A$,$x_A$и упавший массой B$x_B$уравнение движения для каждой массы имеет вид:

$$m \ddot x_A=mg+T$$ $$m \ddot x_B=mg-T$$ $T$является функцией $x_A$и $x_B$, ( $T=k(x_B-x_A-L)$где $k$- постоянная пружины, а $L$— натуральная длина), и мы не можем считать, что $\ddot x_A=g$или $\ddot x_B=g$. Уравнения такого типа называются связанными дифференциальными уравнениями и могут быть решены несколькими способами.

Ответ заключается в том, что это зависит от того, как движется ваша начальная подпружиненная масса. Но интересная (но не слишком увлекательная, если вы так сформулируете) часть заключается в том, что пока волна сжатия сверху не взаимодействует с нижней частью обтекателя, динамика нижней половины не изменится.

Если мы предположим, что он находился в состоянии покоя, по существу, верхняя масса будет двигаться достаточно быстро, чтобы центр масс ускорился на$9.8 m/s^2$. Когда он достигнет истинной равновесной длины струны без гравитации, он начнет ускорять нижнюю массу. В этот момент, если вы посмотрите из кадра COM, пружина будет казаться колеблющейся, как обычно. Это связано с тем, что колебания, происходящие здесь, называются собственной частотой. Другая собственная частота (поскольку в этой задаче две независимые переменные) — это движение ЦМ. С движением ЦМ и движением обеих масс вокруг ЦМ у вас есть вся информация, необходимая для реконструкции динамики ваших масс.

Отличной демонстрацией этого является обтяжка в этом видео, которая похожа на пружину с нулевой равновесной длиной:

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_314765&feature=iv&src_vid=eCMmmEEyOO0&v=uiyMuHuCFo4

Есть ли напряжение в пружине?

Если оставить в стороне колебания, упомянутые Джозефом и Скайлером: да, из-за приливной силы. В нормальных ситуациях это настолько незначительно, что не поддается измерению, но оно есть. См. график гравитационного потенциала на Википедии:

^{Изображение CC BY-SA 3.0 от AllenMcC, см. Wikipedia Commons}

Вы можете получить это, разместив оптические часы по экваториальному срезу пространства через Землю и вокруг нее, а затем отобразив ход часов. Наклон графика или первая производная потенциала связаны с силой тяжести. Там, где она самая крутая, сила тяжести наибольшая. Кривизна графика связана с приливной силой. Хотя эта вторая производная потенциала и незначительна, она связана с тензором кривизны Римана и считается определяющей чертой гравитационного поля, потому что без нее ваш график не может выйти из плоскости и выровняться посередине. Если бы ваш участок был плоским и горизонтальным, у вас бы не былогравитационное поле. Таким образом, несмотря на небольшую приливную силу, она присутствует. Вы бы не заметили этого, если бы ваши массы и пружина падали вниз в комнате, но вы бы заметили, если бы они падали в звездную черную дыру. Произойдет спагеттификация :

«В астрофизике спагетификация (иногда называемая эффектом лапши) — это вертикальное растяжение и горизонтальное сжатие объектов в длинные тонкие формы (похожие на спагетти) в очень сильном неоднородном гравитационном поле; это вызвано экстремальными приливными силами. В самых крайних случаях, вблизи черных дыр, растяжение настолько мощное, что ни один объект не может его выдержать, какими бы прочными ни были его компоненты».